Differenziale a variabili separabili

[lRninG]

Buongiorno. Ho svolto un differenziale lineare del primo ordine ma purtroppo differisce (di poco) dalla soluzione corretta.

$ { ( y^{\prime}=y+1/y ),( y(0)=1 ):} $ e dovrebbe risultare $ y=sqrt(2e^(2t)-1)\quad, t>\-ln(sqrt(2)) $ .

Per prima cosa trovo la soluzione stazionaria $y=0$, non accettabile data la condizione iniziale, la quale invece mi suggerisce che $ h(y)=y+1/y $ è definita nell'intervallo $ (0,+\infty) $ .

Separo le variabili e risulta: $ int 1/(y+1/y) dy=int 1dt $ e dato che $y!=0$ posso scrivere $ int y/(y^2+1) dy=int 1dt $ $ rArr $ $ln(sqrt(y^2+1))=t+k$ da cui imponendo la condizione iniziale si ha $k=ln(sqrt(2))$.

Riscrivo il differenziale e ricavo $y$: $\quad ln(sqrt(y^2+1))=t+ln(sqrt(2))$ $rArr$ $y=sqrt(e^(2t)+1)$.
E mi manca da definire l'intervallo in cui è definita la funzione, ma già a questo punto il risultato è errato.

Sono alle prime armi con i differenziali (e si vede), spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie!!

[pilloeffe]

Ciao lRninG,

Beh, proseguendo da dove sei già arrivato si ha:

$ ln(sqrt(y^2+1)) = t+ln(sqrt(2)) $

$ ln(sqrt(y^2+1)) = ln e^t+ln(sqrt(2)) $

$ ln(sqrt(y^2+1)) = ln(sqrt(2) e^t) $

$ \sqrt(y^2+1) = \sqrt(2) e^t $

$ y^2+1 = 2 e^{2t} $

$ y^2 = 2 e^{2t} - 1 $

$ y = \sqrt{2 e^{2t} - 1 } $

[lRninG]

Grazie!! Facevo un errore stupido sulle regole di esponenziali/logaritmi... Grazie ancora