Differenziale a Jacobiano

[nato_pigro1]

Sotto quali ipotesi, precisamente, il differenziale coincide con il jacobiano?

[dissonance]

(Assumo che tu stia parlando di funzioni da $RR^n$ in $RR^m$, e non su varietà più generali).

Sono due oggetti completamente diversi a livello teorico: il primo è un operatore lineare, la seconda (io preferisco dire jacobiana, jacobiano è il suo determinante) è la matrice ad esso associata rispetto ad una base ortonormale, tipicamente la base canonica. Quando la funzione è differenziabile è sempre così, anche se le derivate parziali non dovessero essere continue.

[nato_pigro1]

Il differenziale che sto studiando (magari ce ne sono altri) è una funzione che va dallo spazio tangente di una varietà differenziabile allo spazio tangente di un'altra. Mi è stato detto che è la generalizzazione del jacobiano (meglio maschile, hai ragione), quindi per collegare le due cose volevo sapere qual è di preciso il legame.

[dissonance]

Ah ma in quel caso è la stessa cosa. Se hai una mappa differenziabile $mu:M \to N$ e $p\in M$, il differenziale $mu_p$ è una applicazione lineare di $T_p(M)$ in $T_{mu(p)}(N)$. Scegliendo una carta $(U, x_1 ...x_m)$ in $p$ e una carta $(V, y_1...y_n)$ in $mu(p)$ costruisci automaticamente basi $\frac{\partial}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial y_j}$ di $T_p(M), T_{mu(p)}(N)$ rispettivamente. La matrice associata, rispetto a queste due basi, al differenziale $mu_p$ è proprio la matrice delle derivate parziali:

$[\frac{\partial y_i circ mu}{\partial x_j}]$, dove $i$ è l'indice di riga e $j$ quello di colonna (mi pare, attenzione perché qua mi confondo spesso).

In questo senso il differenziale tra varietà è la generalizzazione del differenziale tra funzioni $RR^n \to RR^m$ che già conosci, e che è associato anche lui alla matrice delle derivate parziali.