Differenziale

[geovito]

ciao
in parole povere, o se preferite terra terra, mi spiegate il concetto di differenziale?
Qual è la sua utilità?
Il rigore matematico dei libri mi crea qualche dubbio e perplessità.
Grazie

[Luc@s]

Di primo acchito mi viene da dire operatore lineare che "sta bene" nell'approssimazione locale al primo ordine della funzione.. ($f(x) = f(x_0)+ d_{f(x_0)} + o(x-x_0)$)....

[Luc@s]

N.B deritava $!=$ differenziale
Con la derivata(monodimensionale, direzionale o parziale che sia) ti calcoli il differenziale.

[Gauss91]

e poi, anche questo terra terra, il differenziale di una funzione, in un punto in cui è derivabile, è il prodotto della derivata della funzione in quel punto per l'incremento della variabile indipendente.
cioè... $df(x) = f'(x)dx$
Se vuoi partire dall'integrale indefinito, si può anche dire che la differenziazione è l'operazione inversa all'integrale indefinito.

[Domè891]

un'altro modo per vedere il differenziale, è vederlo come un'aumento infinitesimo di qualcosa.
esempio, se tu consideri uno spostamento lungo $x$, $dx$ ti dice che ti sei spostato di una quantità molto molto piccola (infinitesima) lungo ques'asse.

ciao

[bingosolos1]

Il differenziale è appunto una variazione infinitesima della funzione, ma mentre nel caso monodimensionale coincide con la derivata (essendo il limite del rapporto incrementale....) e quindi studiare la derivata o il differenziale è la stessa cosa.

Nel caso bidimensionale invece le due grandezze cambiano di significato:

Immagina una funzione a due variabili (una curva) la derivata in un punto è come se anzicche prendere un punto sulla curca ne prendi il punto che si trova sul piano tangente alla curva (implica l'esistenza del piano tangente) invece se ne prendi il differenziale è come se prendessi il punto che si trova sul piano tangente ottenuto come limite di piani secanti. (quindi presuppone non solo che esista il piano tangente ma che questo sia costruito in un ben determinato modo).

[dissonance]

"bingosolos":
... una funzione a due variabili (una curva) ...

una curva è una funzione di una variabile... probabilmente volevi dire superficie?

"bingosolos":
la derivata in un punto è come se anzicche prendere un punto sulla curca ne prendi il punto che si trova sul piano tangente alla curva (implica l'esistenza del piano tangente)

non riesco a capire a cosa ti riferisci. se parli di derivate parziali questo non è vero. (ci sono funzioni derivabili parzialmente, ma che non sono nemmeno continue - altro che piano tangente!) ti potresti spiegare meglio per favore?

(edit) cito un esempio per essere più chiaro: $f(x,y)={ ((xy)/(x^2+y^2), (x,y)!=(0,0)),(0, (x,y)=(0,0)))$, derivabile nell'origine ma non continua.