Differenziale

[Mondo3]

Dopo aver provato che $\nabla(af+\betag)=a\nablaf+\beta\nablag$ e le due formule per il gradiente del prodotto e del rapporto di due funzioni (che funzionano in sintesi come per una variabile), mi si chiede di dimostrare se le dette proprietà valgono pure per il differenziale.

Io direi di sì, però non essendoci soluzioni sul libro, rimango comunque nel dubbio...

[alberto861]

il differenziale è esprimibile come matrice..basta operare sui singoli elementi..la linearità è banale segue dalla linearità delle matrici e della derivata, per il prodotto e il quoziente le applicazioni devono essere $R^n-->R$ altrimenti devi definire un prodotto e un quoziente in $R^n$...cmq nel primo caso sono gradienti $(del(fg))/(del(xj))=(del(f))/(del(xj))*g+f*(del(g))/(del(xj))$ e quindi $grad(f*g)=f*grad(g)+g*grad(f)$, per il quoziente verrà $1/g*(f*grad(g)-g*grad(f))$

[alberto861]

il differenziale è esprimibile come matrice..basta operare sui singoli elementi..la linearità è banale segue dalla linearità delle matrici e della derivata, per il prodotto e il quoziente le applicazioni devono essere $R^n-->R$ altrimenti devi definire un prodotto e un quoziente in $R^n$...cmq nel primo caso sono gradienti $(del(fg))/(del(xj))=(del(f))/(del(xj))*g+f*(del(g))/(del(xj))$ e quindi $grad(f*g)=f*grad(g)+g*grad(f)$, per il quoziente verrà $1/(g^2)*(f*grad(g)-g*grad(f))$