Differenziale

[raff5184]

Chi mi spiega cortesemente con 2 parole facili cos'è geometricamente il differenziale di una funzione?
Che relazione c'è tra differenziale e derivata?
Quando una funzione è differenziabile (più il concetto che la definizione)?

Qual è la definizione (matematica, rigorosa) di differenziale?
E di differenziale esatto?
Una FORMA differenziale è diversa da un differenziale o sono la stessa cosa?

[Luca.Lussardi]

Una cosa alla volta: il differenziale di una funzione in un punto $x$ e' l'applicazione lineare che approssima meglio la funzione data in un intorno di $x$. Cio' che vuole fare il calcolo differenziale e' "raddrizzare le cose storte" per tentare di usare l'algebra lineare anche su cose che non sono dritte. In una variabile se una funzione $f$ e' derivabile in $x$ allora e' ivi differenziabile e il differenziale in $x$ e' l'applicazione $df(x)(y)=f'(x)y$.

[raff5184]

Grazie, ma perché queste cose non ce le spiega mai nessuno?!


Per le altre domande?

[raff5184]

"Luca.Lussardi":Una cosa alla volta: il differenziale di una funzione in un punto $x$ e' l'applicazione lineare che approssima meglio la funzione data in un intorno di $x$. Cio' che vuole fare il calcolo differenziale e' "raddrizzare le cose storte"

Perché la necessità di introdurlo se si può utilizzare la derivata e quindi la tangente alla curva come approssimazione della curva stessa in un intorno di un punto??

[Luca.Lussardi]

Questo va bene in una variabile, infatti in una variabile non serve parlare di differenziale; purtroppo in piu' variabili la derivabilita' anche lungo tutte le direzioni non implica la continuita' della funzione, e non e' stabile per composizione, e questi sono due grossi guai. Per questo motivo si introduce un concetto piu' forte della derivabilita' direzionale, che e' la differenziabilita', che e' una specie di derivabilita' direzionale uniforme rispetto alla direzione.

[Lorenzo Pantieri]

"raff5184":
E di differenziale esatto?
Una FORMA differenziale è diversa da un differenziale o sono la stessa cosa?

Sono cose diverse. Una forma differenziale può essere intuitivamente definita come una "scrittura formale" del tipo $F_1 dx+F_2 dy+F_3dz$. È esatta se esiste una funzione $U(x,y,z)$ tale che il campo vettoriale $F$ può scriversi come il gradiente di $U$. In fisica diresti che $F$ è una forza conservativa.