Differenziabilità, un riepilogo lucifero
Ciao a tutti, so bene che di post riguardo la differenziabilità di una funzione ce n'è a volontà, ma non ne ho trovato nessuno che risolvesse il mio dubbio.
Facciamo un piccolo riassunto: per definizione, perché una funzione ammetta differenziale in un punto \( \vec{x_0} \in \mathbb{R}^n\) deve verificarsi che
\[ f(\vec{x_0} + \vec{h}) - f(\vec{x_0})+o(||\vec{h}||) = df(\vec{x_0)} \]
Dove $ df(\vec{x_0}) $ è una applicazione lineare scrivibile come $ <\nabla f(\vec{x_0)) | \vec{h}> $.
Ora, per dimostrare che la mia funzione è differenziabile nel punto o uso semplicemente la definizione di differenziale, passando per la definizione di o-piccolo, oppure uso il teorema per cui la funzione è differenziabile se e soltanto se ammette derivate parziali continue nel punto. Tuttavia, entrambi i metodi presuppongono che io sia in grado di calcolarmi facilmente le derivate parziali nel punto. Se eventualmente le derivate nel punto non esistono però potrebbero ammettere estensione continua, il calcolo dei limiti per verificare ciò può essere estremamente complicato già solo in $\mathbb{R}^2$.
In che altro modo posso verificare che l'incremento di una funzione è uguale a una funzione lineare a meno di un o-piccolo del modulo dell'incremento sull'incognita?
Un esempio di esercizio semplice a riguardo potrebbe essere la funzione
\[ f(x,y) = ((x^2+y^2)sin \left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \]
Con, se volete $f(0,0)=0$
Grazie mille dell'eventuale attenzione ^^
Facciamo un piccolo riassunto: per definizione, perché una funzione ammetta differenziale in un punto \( \vec{x_0} \in \mathbb{R}^n\) deve verificarsi che
\[ f(\vec{x_0} + \vec{h}) - f(\vec{x_0})+o(||\vec{h}||) = df(\vec{x_0)} \]
Dove $ df(\vec{x_0}) $ è una applicazione lineare scrivibile come $ <\nabla f(\vec{x_0)) | \vec{h}> $.
Ora, per dimostrare che la mia funzione è differenziabile nel punto o uso semplicemente la definizione di differenziale, passando per la definizione di o-piccolo, oppure uso il teorema per cui la funzione è differenziabile se e soltanto se ammette derivate parziali continue nel punto. Tuttavia, entrambi i metodi presuppongono che io sia in grado di calcolarmi facilmente le derivate parziali nel punto. Se eventualmente le derivate nel punto non esistono però potrebbero ammettere estensione continua, il calcolo dei limiti per verificare ciò può essere estremamente complicato già solo in $\mathbb{R}^2$.
In che altro modo posso verificare che l'incremento di una funzione è uguale a una funzione lineare a meno di un o-piccolo del modulo dell'incremento sull'incognita?
Un esempio di esercizio semplice a riguardo potrebbe essere la funzione
\[ f(x,y) = ((x^2+y^2)sin \left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \]
Con, se volete $f(0,0)=0$
Grazie mille dell'eventuale attenzione ^^
Risposte
Ok grazie mille. In effetti non avevo pensato a calcolare le derivate parziali nel punto tramite la definizione. Calcolavo $f'(x)$ tramite le normali regole di derivazione e poi non riuscivo a fare i limiti in $(0,0)$ perché veniva una funzione piuttosto articolata. Da ciò le mie elucubrazioni mi hanno un po' fuorviato 
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