Differenziabilità insiemi di misura nulla
Ciao Sergio.
La tua ultima frase non é vera. Una funzione per essere differenziabile in un punto deve essere continua in quel punto, ma non in un suo intorno.
Dunque esistono funzioni che sono differenziabili in pochi punti.
La tua ultima frase non é vera. Una funzione per essere differenziabile in un punto deve essere continua in quel punto, ma non in un suo intorno.
Dunque esistono funzioni che sono differenziabili in pochi punti.
Risposte
Domanda molto interessante! Premettendo che non so la risposta, scrivo un paio di considerazioni al riguardo.
Come hai detto la continuità è una condizione necessaria, non sufficiente. Esistono funzioni (la più celebre è probabilmente quella di Weierstraß) continue su tutto il dominio e non derivabili in alcun punto, a priori non c'è ragione per credere che non possa esistere una funzione simile, ma con un singolo punto di derivabilità. Il che non vuol dire niente, in quanto non sono riuscito a trovare un controesempio (e se esiste credo sia una cosa piuttosto complessa da scrivere), d'altro canto se la tua ipotesi è vera (non esistono funzioni siffatte) l'argomento sulla continuità e sugli aperti non è sufficiente per portare a termine la dimostrazione.
Ti ringrazio per aver scritto la domanda, nei prossimi giorni provo a pensarci, sempre che qualcun altro non abbia già la risposta.
Come hai detto la continuità è una condizione necessaria, non sufficiente. Esistono funzioni (la più celebre è probabilmente quella di Weierstraß) continue su tutto il dominio e non derivabili in alcun punto, a priori non c'è ragione per credere che non possa esistere una funzione simile, ma con un singolo punto di derivabilità. Il che non vuol dire niente, in quanto non sono riuscito a trovare un controesempio (e se esiste credo sia una cosa piuttosto complessa da scrivere), d'altro canto se la tua ipotesi è vera (non esistono funzioni siffatte) l'argomento sulla continuità e sugli aperti non è sufficiente per portare a termine la dimostrazione.
Ti ringrazio per aver scritto la domanda, nei prossimi giorni provo a pensarci, sempre che qualcun altro non abbia già la risposta.
Sergio, non capisco cosa tu intenda introducendo punti isolati e punti di accumulazione.
Esistono funzioni da $RR mapsto RR$ che sono derivabili in un solo punto e dunque continue in quel punto ma non continue, e dunque non derivabili, in ogni altro reale. Un esempio di una tale funzione non è neanche troppo complicato. Un po più complesso é trovare una funzione continua ma derivabile in un solo punto. Ma anche una tale funzione esiste.
Vedete se riuscite a trovarne, se volete vi posto gli esempi standard.
Esistono funzioni da $RR mapsto RR$ che sono derivabili in un solo punto e dunque continue in quel punto ma non continue, e dunque non derivabili, in ogni altro reale. Un esempio di una tale funzione non è neanche troppo complicato. Un po più complesso é trovare una funzione continua ma derivabile in un solo punto. Ma anche una tale funzione esiste.
Vedete se riuscite a trovarne, se volete vi posto gli esempi standard.
Mi si perdonerà se mi auto-cito:
"Epimenide93":
Esistono funzioni (la più celebre è probabilmente quella di Weierstraß) continue su tutto il dominio e non derivabili in alcun punto, a priori non c'è ragione per credere che non possa esistere una funzione simile, ma con un singolo punto di derivabilità.
Con formule come "la proprietà x vale quasi ovunque" (o "in quasi ogni punto", ecc...) si intende sempre che "esiste una modifica della funzione data, che differisce da essa solo in un insieme di misura nulla e che verifica la proprietà x". Quindi la funzione del tuo ultimo esempio, Sergio, non costituisce un esempio in questo contesto. Essa è semplicemente "uguale" (o meglio, "nella stessa classe di equivalenza") a $x^2$.
Detto questo, di solito si parla di "differenziabilità quasi ovunque" di una funzione, e non di "non differenziabilità quasi ovunque". Non capisco l'importanza di questa ultima nozione visto che se una funzione è differenziabile solo in un insieme di misura nulla, chiaramente se ne può fare una modifica che la renda non differenziabile in nessun punto. Si tratta quindi di una proprietà vuota.
Detto questo, di solito si parla di "differenziabilità quasi ovunque" di una funzione, e non di "non differenziabilità quasi ovunque". Non capisco l'importanza di questa ultima nozione visto che se una funzione è differenziabile solo in un insieme di misura nulla, chiaramente se ne può fare una modifica che la renda non differenziabile in nessun punto. Si tratta quindi di una proprietà vuota.
"Sergio":
...perché una funzione può essere differenziabile in un punto solo se è almeno continua in un intorno di quel punto, e gli intorni hanno misura non nulla.
Non ho seguito tutta la discussione; intervengo solo sul punto riportato.
Consideriamo la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2, &\text{se}\ x\in\mathbb{Q},\\
0, & \text{se}\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\end{cases}
\]
Chiaramente la funzione è differenziabile nell'origine, dal momento che
\[
\left| \frac{f(x) - f(0)}{x} \right| \leq |x| \to 0,\qquad x\to 0.
\]
D'altra parte la funzione è discontinua in tutti i punti eccetto l'origine.
@SergioAncora non capisco completamente quello che vuoi dire. Magari l'esempio di Rigel ti da qualche spunto nuovo.
Intanto ti faccio qualche appunto su quello che hai scritto.
Cosa vuol dire che $f(x_0)$ deve essere di accumulazione per $f(x)$? Si può intuire quello che vuoi dire ma formalmente è sbagliato
Questa potrebbe essere un interpretazione semplicistica. Uno infatti è portato a pensare che se una funzione è derivabile in un punto allora si comporta bene in un suo intorno. Questo però non è vero. Come nel caso di funzioni che sono continue, in un interpretazione naive uno sarebbe portato a dire che esse siano derivabili. Ma questo non è vero.
@Epimenide. Hai visto una funzione continua in un solo punto e derivabile in quel punto e tutto sommato non ha una espressione così assurda come pensavi. Adesso, se vuoi, potresti pensare ad una funzione che è continua ovunque ma derivabile in un solo punto.
@dissonance. Se intendo quello che dici nel primo paragrafo, non mi trovi d'accordo. Ad esempio la funzione $1_{[0,infty)}$ è continua quasi ovunque ma non ha una equivalenza continua.
Intanto ti faccio qualche appunto su quello che hai scritto.
"Sergio":
Questo vuol dire che deve esistere un intorno di \( f(x_0) \) in cui la funzione si avvicina indefinitamente a \( f(x_0) \), cioè che \( f(x_0) \) deve essere un punto di accumulazione per \( f(x) \).
Cosa vuol dire che $f(x_0)$ deve essere di accumulazione per $f(x)$? Si può intuire quello che vuoi dire ma formalmente è sbagliato
"Sergio":
Nel caso di funzioni "normali", questo vuole anche dire che esiste un intorno di \( x_0 \) in cui la funzione è continua e differenziabile.
Questa potrebbe essere un interpretazione semplicistica. Uno infatti è portato a pensare che se una funzione è derivabile in un punto allora si comporta bene in un suo intorno. Questo però non è vero. Come nel caso di funzioni che sono continue, in un interpretazione naive uno sarebbe portato a dire che esse siano derivabili. Ma questo non è vero.
@Epimenide. Hai visto una funzione continua in un solo punto e derivabile in quel punto e tutto sommato non ha una espressione così assurda come pensavi. Adesso, se vuoi, potresti pensare ad una funzione che è continua ovunque ma derivabile in un solo punto.
@dissonance. Se intendo quello che dici nel primo paragrafo, non mi trovi d'accordo. Ad esempio la funzione $1_{[0,infty)}$ è continua quasi ovunque ma non ha una equivalenza continua.
@DajeForte: Hai ragione. Mi sa di avere detto una cavolata bella e buona allora.
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