Differenziabilità in un punto
salve a tutti,volevo sapere come faccio a vedere se una funzione in due variabili è differenziabile in un punto...sto provando a vedere sul mio libro, ma mi mette una tale confusione! c'è qualcuno cosi gentile da spiegarmela in maniera piu sempèlice?
grazie
grazie
Risposte
quando una funzione si dice differenziabile in un punto?se sai rispondere a questa domanda tutto ti viene facile
quello che mi è sembrato di capire è che una funz. è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono e sono continue. ma non capisco come posso vedere se esistano e sono continue. per le funz. a una variabile faccio il limite a dx e a sx e vedo che se il valore dei due lim. è uguale allora è cont. ma nelle funz a due var. come faccio a vedere se esiste ed è continua?
credo tu stia facendo confusione tra la definizione di funzione differenziabile in un punto e il teorema del differenziale totale.
la definizione (che serve anche a vedere se la funzione sia o meno differenziabile in un dato punto) dice quanto segue:
f si dice differenziabile in un punto $ (x0,y0) $ se:
1- esistono le derivate parziali nel punto
2- $ lim_((h,k) -> (0,0))( f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-nabla f(x0,y0)(h,k))/sqrt(h^2+k^2)=0 $
dove
$ nabla f(x0,y0)(h,k) $ è il gradiente del punto moltiplicato scalarmente per il vettore $ (h,k) $
Ricapitolando negli esercizi per vedere se è differenziabile in un punto devi verificare semplicemente le due condizioni.
il teorema del differenziale totale dice invece:
IP:
sia $ f:A->R $ , $ A $ aperto, $ finC^1(A) $ (cioè la funzione è derivabile e le derivate sono continue in $ A $ )
TS:
f è differenziabile in A
qui invece la questione è che f è differenziabile in A e non in un solo punto!
la definizione (che serve anche a vedere se la funzione sia o meno differenziabile in un dato punto) dice quanto segue:
f si dice differenziabile in un punto $ (x0,y0) $ se:
1- esistono le derivate parziali nel punto
2- $ lim_((h,k) -> (0,0))( f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-nabla f(x0,y0)(h,k))/sqrt(h^2+k^2)=0 $
dove
$ nabla f(x0,y0)(h,k) $ è il gradiente del punto moltiplicato scalarmente per il vettore $ (h,k) $
Ricapitolando negli esercizi per vedere se è differenziabile in un punto devi verificare semplicemente le due condizioni.
il teorema del differenziale totale dice invece:
IP:
sia $ f:A->R $ , $ A $ aperto, $ finC^1(A) $ (cioè la funzione è derivabile e le derivate sono continue in $ A $ )
TS:
f è differenziabile in A
qui invece la questione è che f è differenziabile in A e non in un solo punto!
ok ma quando dici nel punto 1- " esistono le derivate parziali nel punto " cosa vuoi dire? che dopo aver fatto la derivata parziale , sostituisco la x e la y del punto, e vedo il valore che ottengo. esisteranno se il valore che ottengo fa parte del dominio della funz. principale?
esisteranno se il valore che ottengo fa parte del dominio della funz. principale?
intanto le derivate le puoi fare solo nei punti dove la funzione è definita!
ok ma quando dici nel punto 1- " esistono le derivate parziali nel punto " cosa vuoi dire? che dopo aver fatto la derivata parziale , sostituisco la x e la y del punto, e vedo il valore che ottengo
si, calcoli la derivata e vedi dove la derivata è definita. per esempio se la derivata ti viene un polinomio sai che i polinomi sono definiti in tutto R e quindi la derivata esiste in qualsiasi punto di R.
Se ho una funzione in due variabili, $f (x,y)$ per $(x,y) \ne (0,0)$ mentre vale $0$ per $(x,y) = (0,0)$ per ipotesi facciamo finta che esista il limite per $(x,y) -> (0,0)$ e che faccia $0$ quindi è continua.
Ora per dire se è differenziabile ciò non basta, serve dire che esistono le derivate parziali e che sono continue ma serve anche qualcos'altro....anche a me non è chiaro questo fatto, cioè:
facendo $\lim_{t->0} (f[(x_0,y_0) + t (1,0)] - f(x_0,y_0))/(t)$
dove $(x_0,y_0) = (0,0)$ (quella è la derivata parziale rispetto a x) se il limite esiste ok, ma come faccio a vedere se è continua?
Ora per dire se è differenziabile ciò non basta, serve dire che esistono le derivate parziali e che sono continue ma serve anche qualcos'altro....anche a me non è chiaro questo fatto, cioè:
facendo $\lim_{t->0} (f[(x_0,y_0) + t (1,0)] - f(x_0,y_0))/(t)$
dove $(x_0,y_0) = (0,0)$ (quella è la derivata parziale rispetto a x) se il limite esiste ok, ma come faccio a vedere se è continua?
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