Differenziabilità in un punto

[MDD1]

Ciao a tutti


Ho questa funzione:

$ (arctn(x^2+y^2))/(x^2+y^2);y!=0$
$ln(x+e); y=0$

Devo verificare la differenziabilità in $x_0(0,0)$

Ho calcolato
$f_x(0,0)=1/e$
$f_y(0,0)=0$
$f(0,0)=1$

Ho impostato il limite:

$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x_0+h,k_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k)/sqrt(h^2+k^2) = (arctg(h^2+k^2)-1-h/e)/sqrt(h^2+k^2)$


Ora, ho pensato di restringere la funzione lungo le rette (h,0),(0,k) per verificare l'esistenza del limite e sono arrivato a:

$lim_(h->0) (arctg(h^2)-1-h/e)/|h|=lim_(k->0) (arctg(k^2)-1)/|k|=-oo$

Come ulteriore verifica ho considerato anche il generico fascio di rette $y=mx$ ed anche in questo caso sono arrivato allo stesso risultato.

Il mio dubbio è: posso così affermare che la funzione non è differenziabile in $(0,0)$ dato che il "limitone" vale $-oo$ e non $0$?
È giusto il mio modo di procedere nella risoluzione del limite?

Grazie a chi vorrà aiutarmi

[bestboy81]

Il ragionamento mi sembra corretto, ma ci sarebbe da precisare che il "limitone" non vale $-oo$, perchè ti sei limitato a controllare solo alcuni percorsi e non tutti i possibili percorsi. Quindi la cosa che possiamo dire è che se esiste vale $-oo$, ma potrebbe anche non esistere! Se sospettiamo che faccia $-oo$ possiamo passare alle coordinate polari ($x^2+y^2$ ce lo suggeriscono) e dimostarlo (infatti se lo fai ti accorgi che la supposizione era esatta). In ogni caso essendo già convinti che il limite non può essere uguale a 0 la funzione non è differenziabile in quel punto.

[MDD1]

Si, l'idea era quella; nel senso, in caso dovesse esistere, quel limite varrebbe $-oo$, quindi la funzione è sicuramente non differrenziabile in quel punto, per questo non ho verificato l'effettiva esistenza.

Ti ringrazio per la risposta