Differenziabilità in un punto
Salve a tutti,
è mezza giornata che sbatto la testa su un limite, potreste aiutarmi?
Il testo dell'esercizio recita: "Consideriamo la funzione f(x, y) definita come
$ (xy)/(x^2+3y^2) $ se (x,y)$!=$ (0,0); f(0, 0) = 0
Studiare la continuità di f in (0, 0).
Studiare la derivabilità parziale di f in (0, 0).
Studiare la differenziabilità di f in (0, 0).
Per quanto riguarda il primo punto, ho che f non è continua in (0,0). Le derivate parziali in (0,0), invece, mi vengono entrambe uguali a 0.
Passando alla differenziabilità nel punto, però, iniziano i guai.
Sono andata a calcolare il seguente limite
$lim_((x,y)->(0,0))(xy)/((x^2+3y^2)(sqrt(x^2+y^2))$ (è giusto?)
e so che questo limite, in realtà, non esiste...ma non riesco proprio ad arrivare a questo risultato! Ho provato anche ad utilizzare le coordinate polari, ma nulla! Potreste illuminarmi?
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà!
è mezza giornata che sbatto la testa su un limite, potreste aiutarmi?
Il testo dell'esercizio recita: "Consideriamo la funzione f(x, y) definita come
$ (xy)/(x^2+3y^2) $ se (x,y)$!=$ (0,0); f(0, 0) = 0
Studiare la continuità di f in (0, 0).
Studiare la derivabilità parziale di f in (0, 0).
Studiare la differenziabilità di f in (0, 0).
Per quanto riguarda il primo punto, ho che f non è continua in (0,0). Le derivate parziali in (0,0), invece, mi vengono entrambe uguali a 0.
Passando alla differenziabilità nel punto, però, iniziano i guai.
Sono andata a calcolare il seguente limite
$lim_((x,y)->(0,0))(xy)/((x^2+3y^2)(sqrt(x^2+y^2))$ (è giusto?)
e so che questo limite, in realtà, non esiste...ma non riesco proprio ad arrivare a questo risultato! Ho provato anche ad utilizzare le coordinate polari, ma nulla! Potreste illuminarmi?
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà!
Risposte
Come può essere differenziabile se non è continua?
A me però la continuità sembra esserci
A me però la continuità sembra esserci
Appunto, proprio perchè non è continua so che il limite per vedere se f è differenziabile in (0,0) non può essere uguale a 0.
Il problema è solo di esercizio, non riesco a trovare la maniera per risolvere il limite...lo faccio più per esercitazione.
Comunque a me non viene continua, ho provato a ricalcolare il limite (della continuità) servendomi delle coordinate polari e mi viene che non esiste, in quanto il risultato dipende dall'angolo theta....sbaglio qualcosa?
Il problema è solo di esercizio, non riesco a trovare la maniera per risolvere il limite...lo faccio più per esercitazione.
Comunque a me non viene continua, ho provato a ricalcolare il limite (della continuità) servendomi delle coordinate polari e mi viene che non esiste, in quanto il risultato dipende dall'angolo theta....sbaglio qualcosa?
Se cerchi di dimostrare la non esistenza basta trovare due percorsi diversi lungo cui il limite assume valori diversi. Non mi metto a fare i conti ma di solito non è troppo difficile.
Per la continuità errore mio, avevo perso un $\rho^2$.
Per la continuità errore mio, avevo perso un $\rho^2$.
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