Differenziabilità implica Derivabilità
Sto sostenendo per l'n-esima volta l'esame di Analisi 2, con una professoressa a dir poco impossibile 
Una delle domande a cui non ho mai trovato risposta è.
Come dimostro che la differenziabilità implica la derivabilità (in $f: RR^2 \to RR$)?
Una delle domande a cui non ho mai trovato risposta è.
Come dimostro che la differenziabilità implica la derivabilità (in $f: RR^2 \to RR$)?
Risposte
Beh, se non sai rispondere a questa domanda nessun professore degno di questo nome potrà mai promuoverti.
Segui la dimostrazione del teorema secondo cui ogni funzione (di una variabile) derivabile è anche continua.
In questo caso facciamo così:
sia $f: (a, b)\toRR$, $x_0\in(a, b)$, $f$ derivabile in $x_0$. In altre parole, per ipotesi esiste finito il limite $lim_{h\to0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$. Osserva adesso che dire ($f$ continua in $x_0$) è come dire ($lim_{h\to0}f(x_0+h)-f(x_0)=0$). Si vede allora perché la derivabilità è una condizione più forte della continuità: se una funzione è derivabile, non solo quest' ultimo limite fa zero, ma anzi pur dividendolo per $h$ continua ad essere finito (*).
Formalmente:
$lim_{h\to0}f(x_0+h)-f(x_0)=lim_{h\to0}[{f(x_0+h)-f(x_0)}/h]*h=f'(x_0)*lim_{h\to0}h=0$.
Cosa è cambiato ora che la nostra funzione ha due variabili? In realtà, poco. Adesso l'ipotesi è che $f(vec{x_0}+vec{h})=f(vec(x_0})+nabla_{f}(x_0)*vec{h}+o(||vec{h}||)$. Ma non fa niente: riesci ugualmente a dire che $lim_{vec{h}\tovec{0}}f(vec{x_0}+vec{h})-f(vec{x_0})=vec{0}$.
Anzi, forse è anche più facile. Infatti $f(vec{x_0}+vec{h})-f(vec(x_0})=nabla_{f}(x_0)*vec{h}+o(||vec{h}||)$. Allora:
$lim_{vec{h}\tovec{0}}f(vec{x_0}+vec{h})-f(vec{x_0})=lim_{vec{h}\tovec{0}}nabla_{f}(x_0)*vec{h}$, perché il termine $o(||h||)$ a maggior ragione tende a $vec{0}$ (*). E siccome $lim_{vec{h}\tovec{0}}nabla_{f}(x_0)*vec{h}=vec{0}$ abbiamo finito.
P.S.: Spero di essere stato chiaro. Sottolineo una cosa: la chiave delle due dimostrazioni è data dai punti segnati con (*). E' qui l'analogia.
Segui la dimostrazione del teorema secondo cui ogni funzione (di una variabile) derivabile è anche continua.
In questo caso facciamo così:
sia $f: (a, b)\toRR$, $x_0\in(a, b)$, $f$ derivabile in $x_0$. In altre parole, per ipotesi esiste finito il limite $lim_{h\to0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$. Osserva adesso che dire ($f$ continua in $x_0$) è come dire ($lim_{h\to0}f(x_0+h)-f(x_0)=0$). Si vede allora perché la derivabilità è una condizione più forte della continuità: se una funzione è derivabile, non solo quest' ultimo limite fa zero, ma anzi pur dividendolo per $h$ continua ad essere finito (*).
Formalmente:
$lim_{h\to0}f(x_0+h)-f(x_0)=lim_{h\to0}[{f(x_0+h)-f(x_0)}/h]*h=f'(x_0)*lim_{h\to0}h=0$.
Cosa è cambiato ora che la nostra funzione ha due variabili? In realtà, poco. Adesso l'ipotesi è che $f(vec{x_0}+vec{h})=f(vec(x_0})+nabla_{f}(x_0)*vec{h}+o(||vec{h}||)$. Ma non fa niente: riesci ugualmente a dire che $lim_{vec{h}\tovec{0}}f(vec{x_0}+vec{h})-f(vec{x_0})=vec{0}$.
Anzi, forse è anche più facile. Infatti $f(vec{x_0}+vec{h})-f(vec(x_0})=nabla_{f}(x_0)*vec{h}+o(||vec{h}||)$. Allora:
$lim_{vec{h}\tovec{0}}f(vec{x_0}+vec{h})-f(vec{x_0})=lim_{vec{h}\tovec{0}}nabla_{f}(x_0)*vec{h}$, perché il termine $o(||h||)$ a maggior ragione tende a $vec{0}$ (*). E siccome $lim_{vec{h}\tovec{0}}nabla_{f}(x_0)*vec{h}=vec{0}$ abbiamo finito.
P.S.: Spero di essere stato chiaro. Sottolineo una cosa: la chiave delle due dimostrazioni è data dai punti segnati con (*). E' qui l'analogia.
Grazie per la risposta dissonance, veramente chiara e completa.
Probabilmente mi sfugge qualcosa a me, ma nella seconda parte (ovvero quella a 2 variabili) non stiamo dimostrando che poiché è differenziabile allora è continua?
EDIT: Chiedo perdono! E' stata colpa mia, nel titolo avevo fatto la richiesta giusta, mentre nel post poi ho scritto una cosa diversa. Chiedo perdono per il mio errore da "appena arrivato".
P.s. la suddetta professoressa è impossibile per ben altri motivi, per questo ci tengo a comprendere tutto, in modo che non abbia possibilità di reclamare.
Probabilmente mi sfugge qualcosa a me, ma nella seconda parte (ovvero quella a 2 variabili) non stiamo dimostrando che poiché è differenziabile allora è continua?
EDIT: Chiedo perdono! E' stata colpa mia, nel titolo avevo fatto la richiesta giusta, mentre nel post poi ho scritto una cosa diversa. Chiedo perdono per il mio errore da "appena arrivato".
P.s. la suddetta professoressa è impossibile per ben altri motivi, per questo ci tengo a comprendere tutto, in modo che non abbia possibilità di reclamare.
In effetti la dimostrazione di dissonance è che la differenziabilità implica la continuità. Il problema sta in quello che stai richiedendo tu: per le funzioni di più variabili, il concetto di derivabilità non esiste e viene sostituito da quello di differenziabilità! La tua prof. potrebbe aver inteso derivabilità come esistenze delle derivate parziali prime (cosa che dubito fortemente) e in ogni caso la domanda non avrebbe senso: la definizione di differenziabilità include la richiesta che la funzione sia derivabile parzialmente!
Delle due l'una: o la tua prof. si è veramente fumata della roba, oppure tu non hai capito niente! Tu che dici?
Delle due l'una: o la tua prof. si è veramente fumata della roba, oppure tu non hai capito niente! Tu che dici?
"ciampax":
In effetti la dimostrazione di dissonance è che la differenziabilità implica la continuità. Il problema sta in quello che stai richiedendo tu: per le funzioni di più variabili, il concetto di derivabilità non esiste e viene sostituito da quello di differenziabilità! La tua prof. potrebbe aver inteso derivabilità come esistenze delle derivate parziali prime (cosa che dubito fortemente) e in ogni caso la domanda non avrebbe senso: la definizione di differenziabilità include la richiesta che la funzione sia derivabile parzialmente!
Delle due l'una: o la tua prof. si è veramente fumata della roba, oppure tu non hai capito niente! Tu che dici?
Per quanto riguarda le richieste della professoressa, non ho sbagliato io perchè ho i testi degli esami sotto mano. Per come è lei, non mi stupisce così tanto che abbia scritto una cosa fuori dal mondo.
In ogni caso alcune volte la richiesta è di dimostrare che se è differenziabile ammette derivate parziali, quindi se qualcuno puo' darmi una mano con questa dimostrazione ne sarei infinitamente grato.
@ciampax: sei sicuro di quello che dici? se la funzione è derivabile parzialmente non è per forza differenziabile.
P.s. l'ultimo esempio di questa pagina: http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_differenziabile dovrebbe dire proprio questo
Ah, è vero. Quindi vogliamo dimostrare che la differenziabilità implica la derivabilità. Certo, se usiamo la definizione di differenziabilità con il gradiente -come ho fatto nel mio post precedente- incappiamo nel problema che dice ciampax.
Tuttavia alcuni autori (presumo anche la tua professoressa) definiscono così la differenziabilità:
Sia $U\subRR^n$ aperto, $f:U\toRR$, $a\inU$ [1]. Diremo che $f$ è differenziabile in $a$ se e solo se esiste una applicazione lineare $L_a:RR^n\toRR$ tale che
$f(a+h)=f(a)+L_a(h)+o(||h||)$.
(Questa definizione tra l'altro è quella che è stata insegnata anche a me, ed è quella che io preferisco perché è la più generale).
Sia ora $f$ come sopra. Mostriamo che non solo $f$ è derivabile parzialmente, ma anzi che comunque prendiamo un vettore di direzione $v$, $f$ è derivabile lungo la direzione di $v$.
E' solo una verifica. Consideriamo il rapporto incrementale ${f(a+lambdav)-f(a)}/lambda$. Per ipotesi possiamo dire che:
$f(a+lambdav)-f(a)=L_a(lambdav)+o(||lambdav||)=lambdaL_a(v)+o(lambda)$ (gli o-piccolo sono intesi per $lambda\to0$).
Resta solo da calcolare il limite, a questo punto una banalità assoluta: $lim_{lambda\to0}(lambdaL_a(v)+o(lambda))/lambda=L_a(v)$.
Quindi non solo la funzione è derivabile direzionalmente, ma anzi sappiamo anche quanto vale la derivata: ${delf}/{delv}(a)=L_a(v)$. [2]
_______________________________________
[1] Nel post precedente ho usato la notazione $vec{a}$ per distinguere vettori e scalari. Questo perché volevo evidenziare la differenza tra limiti in una variabile scalare e limiti in una variabile vettoriale. Adesso non è più necessario appesantire così la notazione, quindi uso le lettere romane $a, b, c, ...$ per i vettori e quelle greche $alpha, beta, gamma, ...$ per gli scalari.
[2]Segue da qui che, prendendo come $v$ le direzioni $e_1, e_2, ..., e_n$ della base canonica di $RR^n$, conosciamo il valore di $L_a$ su tutta questa base. Dall'algebra lineare ricaviamo allora che possiamo dare un nome e un cognome a questa $L_a$: infatti per ogni vettore $h\inRR^n$ avremo che $L_a(h)=nabla_{f}(a)*h$.
[EDIT]Solo adesso (quasi un anno dopo la prima stesura di questo post) mi sono accorto del successivo messaggio di Gugo, e ho modificato di conseguenza. Ho aggiunto un pedice per sottolineare la dipendenza di $L$ dal punto $a$.
Tuttavia alcuni autori (presumo anche la tua professoressa) definiscono così la differenziabilità:
Sia $U\subRR^n$ aperto, $f:U\toRR$, $a\inU$ [1]. Diremo che $f$ è differenziabile in $a$ se e solo se esiste una applicazione lineare $L_a:RR^n\toRR$ tale che
$f(a+h)=f(a)+L_a(h)+o(||h||)$.
(Questa definizione tra l'altro è quella che è stata insegnata anche a me, ed è quella che io preferisco perché è la più generale).
Sia ora $f$ come sopra. Mostriamo che non solo $f$ è derivabile parzialmente, ma anzi che comunque prendiamo un vettore di direzione $v$, $f$ è derivabile lungo la direzione di $v$.
E' solo una verifica. Consideriamo il rapporto incrementale ${f(a+lambdav)-f(a)}/lambda$. Per ipotesi possiamo dire che:
$f(a+lambdav)-f(a)=L_a(lambdav)+o(||lambdav||)=lambdaL_a(v)+o(lambda)$ (gli o-piccolo sono intesi per $lambda\to0$).
Resta solo da calcolare il limite, a questo punto una banalità assoluta: $lim_{lambda\to0}(lambdaL_a(v)+o(lambda))/lambda=L_a(v)$.
Quindi non solo la funzione è derivabile direzionalmente, ma anzi sappiamo anche quanto vale la derivata: ${delf}/{delv}(a)=L_a(v)$. [2]
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[1] Nel post precedente ho usato la notazione $vec{a}$ per distinguere vettori e scalari. Questo perché volevo evidenziare la differenza tra limiti in una variabile scalare e limiti in una variabile vettoriale. Adesso non è più necessario appesantire così la notazione, quindi uso le lettere romane $a, b, c, ...$ per i vettori e quelle greche $alpha, beta, gamma, ...$ per gli scalari.
[2]Segue da qui che, prendendo come $v$ le direzioni $e_1, e_2, ..., e_n$ della base canonica di $RR^n$, conosciamo il valore di $L_a$ su tutta questa base. Dall'algebra lineare ricaviamo allora che possiamo dare un nome e un cognome a questa $L_a$: infatti per ogni vettore $h\inRR^n$ avremo che $L_a(h)=nabla_{f}(a)*h$.
[EDIT]Solo adesso (quasi un anno dopo la prima stesura di questo post) mi sono accorto del successivo messaggio di Gugo, e ho modificato di conseguenza. Ho aggiunto un pedice per sottolineare la dipendenza di $L$ dal punto $a$.
"ciampax":
e in ogni caso la domanda non avrebbe senso: la definizione di differenziabilità include la richiesta che la funzione sia derivabile parzialmente!
Delle due l'una: o la tua prof. si è veramente fumata della roba, oppure tu non hai capito niente! Tu che dici?
Tertium datur. Ovvero non hai contemplato l'ipotesi che tu non abbia capito niente
Non sto a scrivere il perché, visto che dissonance mi ha anticipato (e io quando insegnavo queste cose seguivo proprio quella strada, di non richiedere a priori che la funzione fosse parzialmente derivabile).
Uffa, mi avete anticipato mentre mangiavo (la lasagna! 
).
Ad ogni modo, l'approccio di ciampax è (grossomodo) quello del Fusco-Marcellini-Sbordone, che sinceramente non mi piace granchè; preferisco l'approccio tradizionale, ossia quello illustrato da dissonance e Fioravante.
@ dissonance: Perchè non aggiungere una dipendenza dal punto $a$ dell'applicazione lineare $L(h)$? Io scriverei $L_a(h)$ oppure $L(a;h)$...
).Ad ogni modo, l'approccio di ciampax è (grossomodo) quello del Fusco-Marcellini-Sbordone, che sinceramente non mi piace granchè; preferisco l'approccio tradizionale, ossia quello illustrato da dissonance e Fioravante.
@ dissonance: Perchè non aggiungere una dipendenza dal punto $a$ dell'applicazione lineare $L(h)$? Io scriverei $L_a(h)$ oppure $L(a;h)$...
Ragazzi, decidiamoci: quale definizione di differenziabilità usate? Io uso quella alla Marcellini-Sbordone, in cui si richiede che la funzione sia parzialmente derivabile nel punto (e quindi in una aperto che lo contiene). Dal mio punto di vista, il concetto di derivibalità in più variabili non esiste proprio, comunque, va bene così!
@ Fioravante: sì, può essere che io non abbia capito niente, ma ripeto, per me la parola derivabilità in più variabili non ha senso!
@ Fioravante: sì, può essere che io non abbia capito niente, ma ripeto, per me la parola derivabilità in più variabili non ha senso!
"ciampax":?
@ Fioravante: sì, può essere che io non abbia capito niente, ma ripeto, per me la parola derivabilità in più variabili non ha senso!
Riporto (parte di) quello che avevi detto:
La tua prof. potrebbe aver inteso derivabilità come esistenze delle derivate parziali prime (cosa che dubito fortemente) e in ogni caso la domanda non avrebbe senso: la definizione di differenziabilità include la richiesta che la funzione sia derivabile parzialmente!
Delle due l'una: o la tua prof. si è veramente fumata della roba, oppure tu non hai capito niente! Tu che dici?
Magari quartum datur, ovvero che io non capisco la lingua italiana.
Tuttavia, giovine matematico, essendo antipatico (e cattivissimo), ti vorrei invitare a riflettere sul fatto che il mondo è più grande di quello che Paolo e Carlo hanno deciso di rappresentare nel loro libro.
PS:
"ciampax":? Sicuro di quel "e quindi"?
si richiede che la funzione sia parzialmente derivabile nel punto (e quindi in una aperto che lo contiene)
"Fioravante Patrone":
Tuttavia, giovine matematico, essendo antipatico (e cattivissimo), ti vorrei invitare a riflettere sul fatto che il mondo è più grande di quello che Paolo e Carlo hanno deciso di rappresentare nel loro libro.
Veramente a me è capitato alcune volte di sentir usare "derivabilità" come sinonimo di "avere le derivate parziali". Anche se personalmente non lo faccio e ritengo possa essere una pericolosa fonte di confusione per giovani imberbi.
Sinceramente non ho capito...
Comunque sì, in effetti mi sono reso conto di avere detto una stronzata!
E comunque non avevo intenzione di offendere il tipo che ha postato, solo mi suonava strano, in quel momento quello che diceva.
Per quanto riguarda il e quindi, altra presupposizione sbagliata: stavo intendendo io, stavolta, derivabilità=differenziabilità! Ok, mi sa che quando sto con la febbre è meglio se non faccio matematica!
PS: e comunque non sono mica tanto giovane!
"ciampax":
PS: e comunque non sono mica tanto giovane!
Neanch'io. Più di te.
Bene, ora che ci siamo "beccati", molto benvenuto nel forum.
E guarisci presto!! Forze fresche sono sempre necessarie
Grazie. E comunque discutere secondo me fa sempre bene! A volte tendi a scordarti che, nonostante la matematica sia "rigida", anche lei ha la sua buona dose di inventiva con cui provedere. E sai una cosa: la definizione di differenziabilità così come la intendete voi non l'avevo davvero mai incontrata... e mi piace molto di più!
"ciampax":
Grazie. E comunque discutere secondo me fa sempre bene! A volte tendi a scordarti che, nonostante la matematica sia "rigida", anche lei ha la sua buona dose di inventiva con cui provedere. E sai una cosa: la definizione di differenziabilità così come la intendete voi non l'avevo davvero mai incontrata... e mi piace molto di più!
Penso che sia normale che a un matematico piaccia di più non richiedere a priori l'esistenza delle derivate parziali. Un po' come quando nella dim tradizionale del teorema di esistenza ed unicità del pb di Cauchy si chiede alla soluzione della equazione integrale solo la continuità. Meno ipotesi di regolarità si fanno "a priori" meglio è.
C'è anche un punto di vista metodologico importante: la def come descritta da dissonance ha il pregio di mettere in chiarissima evidenza l'essenza della idea di differenziabilità. Anche se da un punto di vista pratico, l'approssimazione lineare "candidata" ad essere quella buona è costruita proprio a partire dalle derivate parziali. Non mi ricordo di casi in cui non si passi, alla fin fine, attraverso di loro, quando si vuole provare la differenziabilità di una funzione.
Effettivamente, riflettendoci a posteriori, probabilmente la funzione lineare in questione è proprio la combinazione lineare delle derivate parziali in quel punto, esatto? Almeno, da come ha scritto dissonance la "formula" alla base della definizione, sembra così... o sbaglio? (oddio, non è che qua stiamo andando OT?)
Certo: le derivate parziali forniscono la "matrice di rappresentazione" di questa applicazione lineare, date le basi canoniche.
Ok, ok, ci sono!
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