Differenziabilità funzioni due variabili
Avrei dei dubbi riguardo lo studio della differnziabilità di funzioni a due variabili, consideriamo la seguente funzione:
[tex]f(x,y) =[/tex][tex]\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{4/3}y}{x^2+y^4} (x,y)\neq(0,0)& \\
0(x,y) = (0,0)&
\end{matrix}\right.[/tex]
Devo studiare continuità, derivabilità e differenziabilità. La funzione è sempre continua tranne che in [tex](0,0)[/tex] dove non è continua, poi calcolando le derivate parziali:
[tex]fx(x,y) = \frac{2x^{1/3}y(2y^{4}-x^{2})}{3(x^{2}+y^{4})^{2}}[/tex]
[tex]fy(x,y) = \frac{x^{4/3}(x^{2}-3y^{4})}{(x^{2}+y^{4})^{2}}[/tex]
Quindi sono continue in [tex]R^{2}[/tex] escluso [tex](0,0)[/tex] pertanto la funzione è differenziabile in [tex]R^{2}[/tex] escluso [tex](0,0)[/tex] . Adesso vado a calcolarmi le derivate nel punto [tex](0,0)[/tex] per poi verificare la differenziabilità:
[tex]fx(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=0[/tex]
[tex]fy(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=0[/tex]
Quindi adesso in teoria dovrei verificare la differenziabilità in [tex](0,0)[/tex], mentre nella soluzione dell'esercizio dice che la funzione non è differenziabile in [tex](0,0)[/tex] poichè ivi la funzione non è continua, mentre io sapevo che la differenziabilità non dipende dalla continuità, ma dalla derivabilità.
Poi un'altra cosa le formule per vedere la derivabilità e la differenziabilità in un punto [tex](xo,yo)[/tex] sono le seguenti??
[tex]fx(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(t+xo,yo)-f(xo,yo)}{t} = l1[/tex]
[tex]fy(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(xo,t+yo)-f(xo,yo)}{t} = l2[/tex]
Quindi se [tex]l1=l2[/tex] le derivate parziali sono continue nel punto [tex](xo,yo)[/tex]
Mentre per la differenziabilità:
[tex]\lim_{(xo,yo)\to(0,0)}\frac{f(x+xo,y+yo)-f(xo,yo)-fx(xo,yo)x-fy(xo,yo)y}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}} = 0[/tex]
Allora la funzione è differnziabile nel punto [tex](xo,yo)[/tex]
[tex]f(x,y) =[/tex][tex]\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{4/3}y}{x^2+y^4} (x,y)\neq(0,0)& \\
0(x,y) = (0,0)&
\end{matrix}\right.[/tex]
Devo studiare continuità, derivabilità e differenziabilità. La funzione è sempre continua tranne che in [tex](0,0)[/tex] dove non è continua, poi calcolando le derivate parziali:
[tex]fx(x,y) = \frac{2x^{1/3}y(2y^{4}-x^{2})}{3(x^{2}+y^{4})^{2}}[/tex]
[tex]fy(x,y) = \frac{x^{4/3}(x^{2}-3y^{4})}{(x^{2}+y^{4})^{2}}[/tex]
Quindi sono continue in [tex]R^{2}[/tex] escluso [tex](0,0)[/tex] pertanto la funzione è differenziabile in [tex]R^{2}[/tex] escluso [tex](0,0)[/tex] . Adesso vado a calcolarmi le derivate nel punto [tex](0,0)[/tex] per poi verificare la differenziabilità:
[tex]fx(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=0[/tex]
[tex]fy(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=0[/tex]
Quindi adesso in teoria dovrei verificare la differenziabilità in [tex](0,0)[/tex], mentre nella soluzione dell'esercizio dice che la funzione non è differenziabile in [tex](0,0)[/tex] poichè ivi la funzione non è continua, mentre io sapevo che la differenziabilità non dipende dalla continuità, ma dalla derivabilità.
Poi un'altra cosa le formule per vedere la derivabilità e la differenziabilità in un punto [tex](xo,yo)[/tex] sono le seguenti??
[tex]fx(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(t+xo,yo)-f(xo,yo)}{t} = l1[/tex]
[tex]fy(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(xo,t+yo)-f(xo,yo)}{t} = l2[/tex]
Quindi se [tex]l1=l2[/tex] le derivate parziali sono continue nel punto [tex](xo,yo)[/tex]
Mentre per la differenziabilità:
[tex]\lim_{(xo,yo)\to(0,0)}\frac{f(x+xo,y+yo)-f(xo,yo)-fx(xo,yo)x-fy(xo,yo)y}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}} = 0[/tex]
Allora la funzione è differnziabile nel punto [tex](xo,yo)[/tex]
Risposte
Ok grazie per la risposta per quanto riguarda le formule per vedere la differenziabilità sono corrette?
alura, sergio le tue considerazioni non fanno una grinza, però in questo esercizio entrambe le derivate parziali son nulle!!! per cui non ci danno informazioni sulla differenziabilità(ahimè con le derivate parziali nulle l'intorno di quel punto potrebbe avere un andamento quadratico, o peggio cubico, e non essere quindi differenziabile(poichè nonc'è un piano che approssima la funzione))!!! quindi per arrivare alla conclusione devi passare per la definizione di differenziale e calcolarti quel limite da ogni direzione(io di solito circondo il punto o luogo di punti con intorni sferici/cilindrici, cubici, a seconda dell'occorrenza, ma spesso uno vale l'altro)...quindi essendo quel limite un infinitesimo è differenziabile!!!
La funzione non è continua (come si può verificare considerando la restrizione \(y\mapsto f(y^2, y)\)), dunque non è nemmeno differenziabile nell'origine.
vero che non è continua !!! vedendo che avea calcolato derivate parziali e usato la definizione di differenziale la continuità l'avevo data per scontata xD
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