Differenziabilità funzione reale di due variabili reali

[adry105]

Ho un problema su questo esercio:

http://img146.imageshack.us/i/scansionedigitalizzata.jpg/

Cioè ho problemi a trovare il valore della derivata prima rispetto a x e rispetto a y nei punti degli assi. Ho il punto (x_o , 0), come faccio a trovare la funzione ristretta a y=0, in f(x,0) quale funzione devo considerare e perchè? :) non so se mi sono spiegato! :D

Aggiunto 2 ore 51 minuti più tardi:

Ecco.. non capisco perchè per il punto (x_o, y) consideri la prima legge! :D il mio dubbio l'ho esposto meglio qui:
http://img204.imageshack.us/i/scansionedigitalizzata3.jpg/

:) Grazie Ciampax sei sempre troppo gentile e disponibile, grazie veramente!

Aggiunto 9 ore 39 minuti più tardi:

:) e ti ringrazio! :) e Ciampax hai letto la seconda immagine? che ho scritto un dubbio sull'analisi :DDD :)

Aggiunto 3 giorni più tardi:

Hai visto la seconda immagine, giusto?..

Io la chiamo g(y), tu la scrivi in questo modo:

[math]\lim_{h,k\to 0}\frac{f(x+h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{h,k\to 0}\frac{(x+h)k\log[k(x+h)]}{\sqrt{h^2+k^2}}[/math]

...

Non capisco perchè quando si considera il punto (x_o, y) considero che il punto appartenga ad A e quindi sia un punto della prima legge... Cioè non potrebbe essere un punto di A complementare e quindi appartenere alla seconda legge?... (Nell'immagine ho fatto anche un disegno :D, per cercare di capire! però ovviamente non so se è giusto :P)

In un punto dell'asse (visto che appartiene ad A complementare) la funzione ha valore zero.. Se considero il punto (x_0, y), cioè questo punto non potrebbe appartenere anche a A complementare? =O cioè non so se mi sono spiegato, magari dico anche cavolate :D

[ciampax]

Per quanto riguarda dominio e continuità è tutto a posto. Vediamo per l'esistenza delle derivate parziali: ovviamente esse creano problemi solo nei punti di frontiera che sono della forma

[math](0,y), (x,0)[/math]

(punti degli assi). Usiamo la definizione: per prima cosa osserva che

[math]f(x,0)=0,\ f(0,y)=0[/math]

per definizione, in quanto se ti trovi sugli assi sei nell'insieme

[math]A^c[/math]

. Abbiamo per sempio

[math]f_x(x,0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0[/math]

perché, come detto prima, comunque tu calcoli la funzione

[math]f[/math]

su un punto degli assi (quindi con una delle coordinate pari a zero) otterrai

[math]f=0[/math]

. Le derivate parziali su questi punti sono, pertanto, tutte nulle.

Ciononostante, stabilire la forma delle derivate prime in questi punti non è sufficiente. Per determinare se una funzione di più variabili è differenziabile in un punto

[math](x,y)[/math]

devi verificare che

[math]\lim_{h,k\to 0}\frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)-h f_x(x,y)-k f_y(x,y)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0[/math]

.

Prendiamo un punto della forma

[math](x,0)[/math]

: per quello che dicevamo prima sappaimo che

[math]f(x,0)=f_x(x,0)=f_y(x,0)=0[/math]

e quindi il limite precedente diventa

[math]\lim_{h,k\to 0}\frac{f(x+h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{h,k\to 0}\frac{(x+h)k\log[k(x+h)]}{\sqrt{h^2+k^2}}[/math]

Se poni

[math]h=\rho\cos\theta,\ k=\rho\sin\theta[/math]

allora

[math]\lim_{\rho\to 0}\frac{\rho\sin\theta(x+\rho\cos\theta)\log[\rho\sin\theta(x+\rho\cos\theta)]}{\rho}=\\
\lim_{\rho\to 0}\sin\theta(x+\rho\cos\theta)\log[\rho\sin\theta(x+\rho\cos\theta)][/math]

e tale limite non esiste! Quindi la funzione non è differenziabile. Analogamente (per simmetria scambiando x e y) nell'altro caso.

Aggiunto 6 ore 45 minuti più tardi:

Figurati, è un piacere. Quando avete dubbi su qualsiasi cosa riguardi l'analisi, sono sempre ben felice di aiutare (e anche per altre materie come Goemetria, Algebra, ecc..)

Aggiunto 3 giorni più tardi:

Scusa Adry ma non ho capito quale è il tuo dubbio.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Certo che può essere un punto in quella porzione di piano. E questo avvalora ancor di più il gatto che la funzione non sia derivabile, in quanto se considerassi uno di tali punti anche il primo termine a numeratore risulterebbe nullo e quindi in tal caso avresti che il limite vale zero, mentre negli altri casi è variabile.