Differenziabilità funzione logaritmica in 3 variabili
Determina l'insieme di definizione della funzione
e scrivi l'equazione del piano tangente al grafico nel punto $(2,1,1)$. Verificane quindi la differenziabilità.
1) L'insieme di definizione è $ {(x,y,z)inR3:x>1uu y^2+z^2>0} $ .
2) L'equazione del piano tangente al grafico nel punto $(2,1,1)$ è $Z=ln((1)/(2))+(x-2)+(y-1)+(z-1)$.
3) Il problema è la differenziabilità... Finora ho sempre avuto a che fare con la differenziabilità di funzioni in due variabili, mai con tre, e nel dimostrare la continuità della funzione sto trovando difficoltà. Ad esempio è possibile impostare due restrizioni contemporaneamente? Ovvero
$ ln((x-1)/(y^2+z^2)) $
e scrivi l'equazione del piano tangente al grafico nel punto $(2,1,1)$. Verificane quindi la differenziabilità.
1) L'insieme di definizione è $ {(x,y,z)inR3:x>1uu y^2+z^2>0} $ .
2) L'equazione del piano tangente al grafico nel punto $(2,1,1)$ è $Z=ln((1)/(2))+(x-2)+(y-1)+(z-1)$.
3) Il problema è la differenziabilità... Finora ho sempre avuto a che fare con la differenziabilità di funzioni in due variabili, mai con tre, e nel dimostrare la continuità della funzione sto trovando difficoltà. Ad esempio è possibile impostare due restrizioni contemporaneamente? Ovvero
$ lim_((x,y,z) -> (0,0,0)) ln((x-1)/(y^2+z^2))-> lim_((y^2,y,my) -> (0,0,0)) ln((y^2-1)/(y^2+m^2y^2)) $
Risposte
A mio parere, leggendo il testo dell'esercizio, devi studiarne la differenziabilità solo dove la funzione è definita, nel dominio per intenderci: $[x gt 1] ^^ [y ne 0] ^^ [z ne 0]$. Inoltre, poiché:
$[(delf)/(delx)=1/(x-1)] ^^ [(delf)/(dely)=(-2y)/(y^2+z^2)] ^^ [(delf)/(delz)=(-2z)/(y^2+z^2)]$
l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico della funzione è $[w=x-y-z-ln2]$, avendo indicato con $w$ la variabile dipendente che rappresenta il valore della funzione medesima. Infine, poiché la funzione è di classe $C^1$, è senz'altro differenziabile nel suo dominio.
P.S.
Ad ogni modo, tentare di estendere la funzione per continuità nell'origine (mediante il limite proposto) non ha alcun senso, visto che, dovendo essere $[x gt 1]$, esiste un intorno sferico dell'origine medesima dove la funzione non è definita.
$[(delf)/(delx)=1/(x-1)] ^^ [(delf)/(dely)=(-2y)/(y^2+z^2)] ^^ [(delf)/(delz)=(-2z)/(y^2+z^2)]$
l'equazione dell'iperpiano tangente al grafico della funzione è $[w=x-y-z-ln2]$, avendo indicato con $w$ la variabile dipendente che rappresenta il valore della funzione medesima. Infine, poiché la funzione è di classe $C^1$, è senz'altro differenziabile nel suo dominio.
P.S.
Ad ogni modo, tentare di estendere la funzione per continuità nell'origine (mediante il limite proposto) non ha alcun senso, visto che, dovendo essere $[x gt 1]$, esiste un intorno sferico dell'origine medesima dove la funzione non è definita.
Ti ringrazio per la risposta. Cerco di ricapitolare a modo mio.
Le derivate parziali della funzione sono, rispettivamente:
Per quanto l'iperpiano, essendo l'equazione generica del piano tangente $Z=f(x0)+gradf(x0)(bar(x)-x0)$, e siccome
- $ f(x0)=ln((2-1)/(1+1))=ln((1)/2) $
- $ grad f(x0)=[ ( (1)/(x-1) ),( (-2y)/(y^2+z^2) ),( (-2z)/(y^2+z^2) ) ]=[ ( (1)/(2-1) ),( (-2\cdot 1)/(1+1) ),( (-2\cdot1)/(1+1) ) ]=[ ( 1 ),( -1 ),( -1 ) ] $
l'equazione particolare è:
$ ln((1)/2)+[ ( 1 ),( -1 ),( -1 ) ] (bar(x)-[ ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ])=ln((1)/2)+[ ( 1 ),( -1 ),( -1 ) ] [ ( x-2 ),( y-1 ),( z-1 ) ]=ln((1)/2)+x-2-y+1-z+1=ln((1)/2)+x-y-z $
Perché scrivi $ln2+x-y-z$ ?
Per quanto riguarda la differenziabilità, in pratica mi stai dicendo che se
- $ (partial f)/(partialx)$ ha senso nello stesso insieme di definizione di $f(x,y)$ (ovvero per $x>1$)
- $ (partial f)/(partialy)$ ha senso nello stesso insieme di definizione di $f(x,y)$ (ovvero per $y!=0$)
- $ (partial f)/(partialy)$ ha senso nello stesso insieme di definizione di $f(x,y)$ (ovvero per $z!=0$)
e se sono tutte composte da funzioni elementari continue, allora saranno continue nel loro dominio e dunque $C^1$. Giusto...?
E' che già ho difficoltà nel dimostrare la differenziabilità delle funzioni, figuriamoci in maniera così "intuitiva" e per quelle con tre variabili. Per questo volevo provare ad andare "di calcolo" se era possibile... Da quanto spiegato dal docente io ho capito che:
- se $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y)=0 $ la funzione è continua (per dimostrarlo uso restrizioni del tipo $f(y,y), f(x,x^2), f(x,mx)$ o il passaggio alle coordinate polari)
- se le derivate parziali sono composte da funzioni elementari (come in questo caso?) sono continue, dunque essendo la funzione continua e dotata di derivate parziali (il che la rende derivabile) continue, è anche differenziabile.
- se invece le derivate parziali esistono ma in alcuni punti non sono definite c'è bisogno di calcolare il limite del rapporto incrementale in tale punto.
Non lo so, sto facendo una gran confusione
Le derivate parziali della funzione sono, rispettivamente:
$ (partial f)/(partialx)=1/((x-1)/(y^2+z^2))\cdot (y^2+z^2)/(y^2+z^2)^2=(y^2+z^2)/(x-1)\cdot (y^2+z^2)/((y^2+z^2)^2)=(1)/(x-1) $
$ (partial f)/(partialy)=1/((x-1)/(y^2+z^2))\cdot (-(x-1)2y)/(y^2+z^2)^2=(y^2+z^2)/(x-1)\cdot (-2y(x-1))/((y^2+z^2)^2)= (-2y)/(y^2+z^2) $
$ (partial f)/(partialz)=1/((x-1)/(y^2+z^2))\cdot (-(x-1)2z)/(y^2+z^2)^2=(y^2+z^2)/(x-1)\cdot (-2z(x-1))/((y^2+z^2)^2)=(-2z)/(y^2+z^2) $
Per quanto l'iperpiano, essendo l'equazione generica del piano tangente $Z=f(x0)+gradf(x0)(bar(x)-x0)$, e siccome
- $ f(x0)=ln((2-1)/(1+1))=ln((1)/2) $
- $ grad f(x0)=[ ( (1)/(x-1) ),( (-2y)/(y^2+z^2) ),( (-2z)/(y^2+z^2) ) ]=[ ( (1)/(2-1) ),( (-2\cdot 1)/(1+1) ),( (-2\cdot1)/(1+1) ) ]=[ ( 1 ),( -1 ),( -1 ) ] $
l'equazione particolare è:
$ ln((1)/2)+[ ( 1 ),( -1 ),( -1 ) ] (bar(x)-[ ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ])=ln((1)/2)+[ ( 1 ),( -1 ),( -1 ) ] [ ( x-2 ),( y-1 ),( z-1 ) ]=ln((1)/2)+x-2-y+1-z+1=ln((1)/2)+x-y-z $
Perché scrivi $ln2+x-y-z$ ?
Per quanto riguarda la differenziabilità, in pratica mi stai dicendo che se
- $ (partial f)/(partialx)$ ha senso nello stesso insieme di definizione di $f(x,y)$ (ovvero per $x>1$)
- $ (partial f)/(partialy)$ ha senso nello stesso insieme di definizione di $f(x,y)$ (ovvero per $y!=0$)
- $ (partial f)/(partialy)$ ha senso nello stesso insieme di definizione di $f(x,y)$ (ovvero per $z!=0$)
e se sono tutte composte da funzioni elementari continue, allora saranno continue nel loro dominio e dunque $C^1$. Giusto...?
E' che già ho difficoltà nel dimostrare la differenziabilità delle funzioni, figuriamoci in maniera così "intuitiva" e per quelle con tre variabili. Per questo volevo provare ad andare "di calcolo" se era possibile... Da quanto spiegato dal docente io ho capito che:
- se $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y)=0 $ la funzione è continua (per dimostrarlo uso restrizioni del tipo $f(y,y), f(x,x^2), f(x,mx)$ o il passaggio alle coordinate polari)
- se le derivate parziali sono composte da funzioni elementari (come in questo caso?) sono continue, dunque essendo la funzione continua e dotata di derivate parziali (il che la rende derivabile) continue, è anche differenziabile.
- se invece le derivate parziali esistono ma in alcuni punti non sono definite c'è bisogno di calcolare il limite del rapporto incrementale in tale punto.
Non lo so, sto facendo una gran confusione
Veramente, ho proposto l'equazione $[w=x-y-z-ln2]$ che, considerando l'uguaglianza $[ln(1/2)=-ln2]$, mi sembra identica alla tua. Per quanto riguarda la differenziabilità, le complicazioni di cui scrivi insorgono, tipicamente, in esercizi formulati come in questa discussione: viewtopic.php?f=36&t=175916#p8283067. Nel tuo caso, siccome non è esplicitamente richiesto alcunché del genere, bastano le considerazioni "intuitive" che hai scritto sull'argomento nel tuo ultimo messaggio.
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