Differenziabilità funzione in un punto

[maxpix]

Buongiorno, un esercizio chiede di verificare la differenziabilità di una funzione nel punto (0,0).
La funzione è la seguente $(x^2*y)/(x^2+y^2)$.

per dire che la funzione non è differenziabile basta dimostrare che le derivate parziali non sono continue nel punto (0,0).

ma dalla definizione di derivata parziale sappiamo che bisogna calcolare la funzione nel punto (0,0).
questa è una funzione non definita in quanto 0/0. posso già fermarmi no?

grazie

EDIT --> scusate in realtà sulla funzione ci sono delle condizioni; la funzione è quella riportare sopra se x,y $!=$ (0,0), 0 se (x,y) %=% (0,0)

detto questo, $f(0,0) = 0$ e il $lim(t->0)(0/t) = 0$ quindi la derivata parziale è continua (anche la y) ma allora è differenziabile. Ma non dovrebbe

[dan952]

Procediamo per tappe:
1° tappa (Continuità nel punto)
Se non è continua chiaramente non è nemmeno differenziabile.
Notiamo che $|\frac{xy}{x^2+y^2}| \leq \frac{1}{2}$ quindi $|\frac{x^2y}{x^2+y^2}| \leq \frac{|x|}{2}$ da cui passando al limite otteniamo
$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |\frac{x^2y}{x^2+y^2}|=\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{|x|}{2}=0$
In alternativa potevi mostrarlo con le coordinate polari.

2° tappa (Esistenza delle derivate parziali nel punto)
Mostriamo che esistono le derivate parziali in $(0,0)$ con la definizione
$f_x(0,0)=\lim_{(h,0) \rightarrow (0,0)} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{(h,0) \rightarrow (0,0)} \frac{0-0}{h}=0$
Idem per $f_y(0,0)=0$

3° tappa (Differenziabilità)
Deve verificarsi che
$\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$
Cioè
$\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{\frac{h^2k}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{h^2k}{\sqrt{(h^2+k^2)^3}}=0$
Che non è vero e questo lo si verifica passando alle coordinate polari.

[maxpix]

ok, io non capisco una cosa sulle coordinate polari.
Come stabilisco se esiste una dipendenza o meno dall'angolo?

in questo caso facendo le sostituzioni in coordinate polari il limite risulta $lim_(r->0)(rcos^2(theta)sen(theta))/((cos^2(theta)sen^2(theta))^(3/2))$

[dan952]

Hai calcolato male