Differenziabilità funzione con seno

[Shadow!]

Ciao a tutti ragazzi! Ho delle difficoltà nello stabilire se la seguente funzione è differenziabile:
$ f(x,y)={ ( sin(2x-2y)/(x-y) ),( 2 ):} $
La prima vale se (x,y) non appartiene alla retta y=x, la seconda negli altri casi.

Ho studiato continuità e derivabilità, da cui ho ricavato che la funzione è continua e derivabile sulla retta y=x.
Tuttavia ho difficoltà nel calcolare tale limite per stabilire se la funzione è differenziabile:
$ lim_((p,q) -> (0,0)) (sin(2p-2q)/(p-q)-2)/sqrt(p^2+q^2 $
Grazie a chi risponderà

[anto_zoolander]

Ciao!

Puoi calcolare le derivate parziali e vedere se risultano continue in quei punti, evitandoti il limite.

[Shadow!]

Posso provare, tuttavia il mio docente vuole che verifichiamo la differenziabilità tramite la definizione e quindi attraverso il calcolo del limite (che deve risultare 0) ma in realtà non sono nemmeno sicuro di aver impostato quest'ultimo bene..

[anto_zoolander]

Ciao! Allora potresti andarci così, premesso che il limite è scritto correttamente: anche perché le parziali lungo tutta la retta sono nulle.

Visto che $f(x,y)=2x-2y$ è una funzione particolarmente buona, puoi scrivere

$sin(2x-2y)=2(x-y)-8/(3!)(x-y)^3+o(x-y)^3$

Da cui ti torna $8/(3!)lim_((h,k)->(0,0))(-(h-k)^3+o(h-k)^3)/((h-k)sqrt(h^2+k^2))=-8/(3!)lim_((h,k)->(0,0))(h-k)^2/sqrt(h^2+k^2)=0$

nota che non ho sviluppato in taylor una funzione in due variabili: ho sviluppato in taylor $sin$ e poi gli ho buttato dentro la funzione in due variabili. Questo è possibile quando l’argomento è una funzione $f:AsubsetRR^n->RR$ continua e definita in almeno un intorno nel punto in cui fai il limite