Differenziabilità, funzione a due variabili

[SteezyMenchi]

Salve a tutti. Vorrei sapere se questo esercizio è stato da me risolto correttamente.
Studiare la differenziabilità di $f(x,y) = |xy|^a, a >0$ nell'origine al variare di $a$:
Innanzitutto le derivate parziali esistono finite e sono nulle se non ho sbagliato i conti.
Adesso applichiamo la def di differenziabilità in un punto:
$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k)-f(\vec 0) -f_x(\vec 0)h -f_y(\vec 0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}$
$ = lim \frac{|h|^a|k|^a}{\sqrt{h^2+k^2}}$, passo in coordinate polari e ottengo
$\lim_{\rho \to 0^+} \rho^{2a-1}|cos^a\theta||sin^a\theta| <= lim_{\rho \to 0^+} \rho^{2a-1}$
e alla fine ho ottenuto che $lim \to 0, a >= 1/2$, mentre dovrebbe divergere per $0 e dunque la funzione è differenziabile nell'origine per $a >=1/2$
Ringrazio già chi vorrà rispondermi

[otta96]

Per $a=1/2$ che succede?

[Mathita]

Oltre a ciò che dice otta, segnalo un typo minore: scrivere

"SteezyMenchi":...
$\lim_{\rho \to 0^+} \rho^{2a-1}|cos^a\theta||sin^a\theta|$...

non è equivalente a scrivere

$\lim_{\rho\to 0^{+}}\rho^{2a-1}|\cos\theta|^a|\sin\theta|^{a}$

[SteezyMenchi]

Ok. Per $a = 1/2$ non so perché ma ho pensato $lim \rho^1$ e non $\lim 1$. Possiate perdonarmi, è stata distrazione. Per l'altro errore, invece credo di aver fatto bene (avevo controllato su geogebra): alla fine le immagini delle due funzioni variani in $[-1,1]$ e dunque anche prendendone i moduli, posso maggiorarle allo stesso modo? Almeno credo
In ogni caso grazie per avermi fatto notare l'errore

[Mathita]

@SteezyMenchi, attenzione. Non ho contestato la maggiorazione, che va bene

Se $a$ è un numero irrazionale positivo, $|\cos^{a}(\theta)|$ e $|\sin^{a}(\theta)|$ sono funzioni ben poste se $\cos(\theta)\ge 0$ e $\sin(\theta)\ge 0$, mentre $|\cos(\theta)|^{a}$ e $|\sin(\theta)|^{a}$ esistono sempre. Tutto qui.

Per il resto, dovresti studiare la (non) differenziabilità della funzione per $0

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[SteezyMenchi]

Adesso però ho dei dubbi sul termine $a(\rho,\theta) = |cos^a \theta| |sin^a\theta|$. In ogni caso non mi basta far vedere che in quell'intervallo il limite non tende a $0$ per dimostrare che il limite non esiste. Se $\rho$ mi fa esplodere la frazione sicuramente so che il limite non è zero. L'unico problema è che prima devo assicurarmi che le espressioni nei moduli sono ben poste: la soluzione è giusta però devo aggiungere che vale per $2\pik <= \theta <= \pi/2 + 2\pi k, k \in \ZZ$. Non so cosa tu intenda con studiare la non differenziabilità: la professoressa in classe ha svolto esempi simili in coordinate polari ed una volta che il termine $a(\rho, theta)$ sappiamo che è limitato e il termine $\rho^\beta$ per esempio diverge, allora il limite sicuramente non è verificato e allora per quell'intervallo di valori la funzione è sicuramente non differenziabile nell'origine. Tuttavia più ci penso più non capisco come comportarmi con quel prodotto di moduli. Però secondo me la mia soluzione (al di là di quella precisazione che hai fatto sulle funzioni all'interno dei moduli) è corretta.

[Mathita]

Sì, hai ragione. Ho pensato che avessi dedotto la non differenziabilità per $0
Per quanto riguarda l'altro dubbio, nel momento in cui passi dalla funzione è $f(x,y)=|x y|^{a}$, alla sua rappresentazione in coordinate polari, scrivi

$f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))=|\rho^{2}\cos(\theta)\sin(\theta)|^{a}=$

$=\rho^{2a}|\cos(\theta)|^{a} |\sin(\theta)|^{a}=(1)$

Questa catena di uguaglianze rimane vera per ogni $\theta$ e per ogni $a>0$. Se però scrivi

$(2)=\rho^{2a}|\cos^{a}(\theta)| |\sin^{a}(\theta)|$

l'uguaglianza da (1) a (2) è soggetta a dei vincoli nel momento in cui $a$ è un numero irrazionale positivo: vale per tutti e soli i $\theta$ che rendono non negativi $\cos(\theta)$ e $\sin(\theta)$.

L'inghippo (subdolo) è dovuto alla dominio di potenza con esponente irrazionale $f(x)=x^{\alpha}$, con $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$: essa è definita per $x\ge 0$, se $\alpha>0$, o per $x>0$, se $\alpha<0$ .

[SteezyMenchi]

Sì sì avevo capito la differenza già dal tuo primo messaggio Mathita e quindi, in sintesi, aggiungendo la condizione sull'angolo $\theta$ che mi rende le due funzioni trigonometriche semipositive, risolvo tutti i problemi sulla definizione della potenza a esponente irrazionale positivo e quindi posso concludere.

[Mathita]

Scusami se ti rispondo con una domanda: perché passi da $|\cos(\theta)|^a|\sin(\theta)|^a$ (che è giusto e ti permette di chiudere l'esercizio) a $|\cos^a(\theta)||\sin^a(\theta)|$ (che è condizionatamente giusto e non ti permette di chiudere velocemente il problema)?

[SteezyMenchi]

La verità: Nessun motivo, infatti Mathita mi hai appena fatto accorgere del fatto che l'espressione giusta è la prima che riporti e non so perché quando ho sostituito sono passato direttamente alla seconda
Questa piccola svista ha portato a tutto ciò. Vabbé è stato comunque istruttivo per me (e per chi leggerà il thread) se ci pensi, quindi potremmo definirlo un errore ben accetto

[Mathita]

Nessun problema! Sono solo dispiaciuto del fatto che ti ho fatto perdere tempo su un'inezia del genere. Se da un lato reputo che sia importante prestare attenzione ai dettagli, dall'altro so che tu, in quanto studente, hai poco tempo per soffermarti su di essi: hai molte altre cose più importanti, e interessanti, su cui ragionare.

[SteezyMenchi]

Tranquillo, sicuramente non è una perdita di tempo per me. Poi che abbia poco tempo per fare qualsiasi cosa in generale penso sia una caratteristica di qualsiasi studente di matematica o fisica hhahah