Differenziabilita' funzione a due variabili
Buonasera ragazzi 
, sono alle prese con un esercizio d'esame di analisi 2. Esso chiede:
Studiare la continuita', l'esistenza di entrambe le derivate parziali e la differenziabilita' della funzione:
$
f(x,y) = (x-y^2)^2 sin \frac{1}{x-y^2} \ se \ x \ne y^2 \ \ \ \ \ \ ,
0 \ se \ x=y^2
$
Ecco come ho affrontato l'esercizio.
Studio la continuita'. Allora per $x \ne y^2$ la funzione e' continua perche' composizione di funzioni continue. Ora per $x=y^2$ studio il seguente limite:
$
lim_{(x,y) \rightarrow (\alpha,\alpha^2)} = (x-y^2)^2 sin \frac{1}{x-y^2} \le lim_{(x,y) \rightarrow (\alpha,\alpha^2)} (x-y^2)^2 = 0
$
Quindi ottengo che $f(x,y)$ risulta continua su tutto $R^2$.
Ora studio le derivate parziali prime:
$
f_x(x,y) = 2(x-y^2)sin \frac{1}{x-y^2}+cos \frac{1}{x-y^2}
$
$
f_y(x,y) = 2ycos \frac{1}{x-y^2} - 4y(x-y^2)sin \frac{1}{x-y^2}
$
Tali derivate sono continue in $x \ne y$ allora la funzione sara' differenziabile quando $x \ne y$. Per $x=y$ applichiamo la definizione di differenziabilita':
$
lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} = \frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)- < \nabla f(x,y),((x+h,y+k)-(x,y))>}{\sqrt{h^2+k^2}=
$
$
=lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} =\frac{(h-k^2-2\alpha^4k)^2 sin \frac{1}{h-k^2-2 \alpha^4 k}}{\sqrt{h^2+k^2}} \le lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} = \frac{(h-k^2-4\alpha k)^2}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
$
Quindi la funzione risulta differenziabile su tutto $R^2$.
Volevo sapere se questo procedimento ha degli errori. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta
.
, sono alle prese con un esercizio d'esame di analisi 2. Esso chiede:Studiare la continuita', l'esistenza di entrambe le derivate parziali e la differenziabilita' della funzione:
$
f(x,y) = (x-y^2)^2 sin \frac{1}{x-y^2} \ se \ x \ne y^2 \ \ \ \ \ \ ,
0 \ se \ x=y^2
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Ecco come ho affrontato l'esercizio.
Studio la continuita'. Allora per $x \ne y^2$ la funzione e' continua perche' composizione di funzioni continue. Ora per $x=y^2$ studio il seguente limite:
$
lim_{(x,y) \rightarrow (\alpha,\alpha^2)} = (x-y^2)^2 sin \frac{1}{x-y^2} \le lim_{(x,y) \rightarrow (\alpha,\alpha^2)} (x-y^2)^2 = 0
$
Quindi ottengo che $f(x,y)$ risulta continua su tutto $R^2$.
Ora studio le derivate parziali prime:
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f_x(x,y) = 2(x-y^2)sin \frac{1}{x-y^2}+cos \frac{1}{x-y^2}
$
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f_y(x,y) = 2ycos \frac{1}{x-y^2} - 4y(x-y^2)sin \frac{1}{x-y^2}
$
Tali derivate sono continue in $x \ne y$ allora la funzione sara' differenziabile quando $x \ne y$. Per $x=y$ applichiamo la definizione di differenziabilita':
$
lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} = \frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)- < \nabla f(x,y),((x+h,y+k)-(x,y))>}{\sqrt{h^2+k^2}=
$
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=lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} =\frac{(h-k^2-2\alpha^4k)^2 sin \frac{1}{h-k^2-2 \alpha^4 k}}{\sqrt{h^2+k^2}} \le lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} = \frac{(h-k^2-4\alpha k)^2}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
$
Quindi la funzione risulta differenziabile su tutto $R^2$.
Volevo sapere se questo procedimento ha degli errori. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta
.
Risposte
L'ho letta al volo, non mi sembra ci siano errori di nessun tipo, ottimo lavoro 
edit* pardon ha ragione dissonance, avevo svolto l'esercizio e il risultato da te proposto era corretto però non ho visto bene i passaggi che hai fatto, ero un attimo di fretta i calcoli vanno bene ma c'è un errore "di valutazione" che però non cambia il risultato(è un'errore che si fa spesso sulle maggiorazioni, spesso il risultato non cambia però è una cosa importante non sbagliare questi passaggi perchè dimostra che hai capito quello che stai facendo).
edit* pardon ha ragione dissonance, avevo svolto l'esercizio e il risultato da te proposto era corretto però non ho visto bene i passaggi che hai fatto, ero un attimo di fretta
i calcoli vanno bene ma c'è un errore "di valutazione" che però non cambia il risultato(è un'errore che si fa spesso sulle maggiorazioni, spesso il risultato non cambia però è una cosa importante non sbagliare questi passaggi perchè dimostra che hai capito quello che stai facendo).
Devi mettere un valore assoluto quando calcoli un limite per confronto. Così come lo hai scritto è sbagliato, anche se il risultato è corretto.
Vedi qui: viewtopic.php?p=8381995#p8381995
Vedi qui: viewtopic.php?p=8381995#p8381995
Ciao ragazzi e grazie per la risposta.
Io ho proprio ragionato con i valori assoluti facendo:
$
|(x-y^2)^2 sin\frac{1}{x-y^2} | \leq |(x-y^2)^2*1|
$
dove posso evitare di mettere il modulo perche' sto trattando un quadrato.
Scusate non capisco dove intendere il modulo
Oppure questo risultato e' vero solo perche' in questo caso c'e` proprio quel quadrato, quindi:
$
\le | \lim_{(x, y) \rightarrow (\alpha , \alpha^2)} (x-y^2)^2 |
$
Io ho proprio ragionato con i valori assoluti facendo:
$
|(x-y^2)^2 sin\frac{1}{x-y^2} | \leq |(x-y^2)^2*1|
$
dove posso evitare di mettere il modulo perche' sto trattando un quadrato.
Scusate non capisco dove intendere il modulo
Oppure questo risultato e' vero solo perche' in questo caso c'e` proprio quel quadrato, quindi:
$
\le | \lim_{(x, y) \rightarrow (\alpha , \alpha^2)} (x-y^2)^2 |
$
"fisico8":Scritto così è corretto.
Ciao ragazzi e grazie per la risposta.
Io ho proprio ragionato con i valori assoluti facendo:
$
|(x-y^2)^2 sin\frac{1}{x-y^2} | \leq |(x-y^2)^2*1|
$
Grazie mille dissonance!!!!
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