Differenziabilità e piano tangente

[AnalisiZero]

Ciao,

Studiando la differenziabilità di una funzione di due variabili, non mi è chiaro come sia legata all'esistenza del piano tangente alla funzione in un punto.
So che $f$ è differenziabile in un punto se e solo se ammette come piano tangente in quel punto $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$.
Però sarebbe giusto dire che in generale se una funzione ammette piano tangente in un punto è differenziabile in quel punto? Cioè, potrebbe avere un caso di funzione derivabile in un punto ma che in quel punto ammette piano tangente con equazione diversa da $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

[dissonance]

Certo. Se una funzione "ammette piano tangente" allora tale piano deve per forza essere quello che hai scritto tu. Questo va dimostrato e il filo logico è il seguente. "Ammettere piano tangente" significa esattamente "essere differenziabile"; questa è una definizione. "Essere differenziabile" in \((x_0,y_0)\) significa che esistono \(a, b\in\mathbb R\) tali che
\[
f(x, y)=f(x_0, y_0)+ a(x-x_0)+b(y-y_0)+ o(\sqrt{ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2}).\]
Bisogna dimostrare che questa condizione implica l'esistenza delle derivate parziali \(f_x, f_y\) in \(x_0, y_0\) e che
\[
a=f_x(x_0, y_0),\quad b=f_y(x_0, y_0).\]
Questo è un esercizio.