Differenziabilità e continuità

[ciruz86]

Ciao a tutti,
ho un dubbio su un esercizio che vi metto qui sotto:
sia $f:R^2 -> R$ una funzione tale che: $f/dx(1,1)=f/dy(1,1)=-1$ e $f/dv(1,1)=4$ per v=(-1,1)

Cosa possiamo dire di f? La funzione è differenziabile? Possiamo stabilire se f è continua?

Il mio ragionamento:
- f è continua in (1,1) perchè è derivabile e ha tutte le derivate direzionali
- f è differenziabile in (1,1) perchè le derivate prime parziali sono continue in un intorno di in (1,1)

è giusto il mio ragionamento?

[bosmer-votailprof]

Ma no scusa, allora, per la formula del gradiente tu hai che se una funzione è differenziabile in un punto $x_0$ allora tu hai che
$$
f_v(x_0)=v_1f_x(x_0)+v_2f_y(x_0)
$$

dove $v=(v_1,v_2)$ , dove ho indicato derivate parziali e direzionali semplicemente col pedice...

Prendiamo la tua funzione, nel tuo caso se la funzione è differenziabile in $(1,1)$ dovrebbe valere la formula del gradiente, ma questo non è vero, infatti se provi ad applicarla ottieni che
$$
4=-1*(-1)+1*(-1)=0
$$

quindi non valendo la formula del gradiente (che è condizione necessaria alla differenziabilità) allora la funzione non è differenziabile in quel punto e penso che tu non possa dire nient altro.

Su cosa si basa il tuo ragionamento?? chi ti dice che ha tutte le derivate direzionali ?? magari ha solo quelle tre derivate li.
chi ti dice che le derivate parziali sono continue in un intorno?? ti hanno solo detto il valore in un punto, per quanto ne sai quello potrebbe essere l'unico punto del piano in cui esistono le derivate parziali..