Differenziabilita di una funzione a due variabili
salve, per quanto riguarda la differenziabilita di funzioni a piu variabili (nel mio caso a due),
io per vedere se una funzione $f(x,y)$ sia differenziabile in un punto ho tenuto conto del teorema di cauchy (cosi è come lo ha ciamato la professoressa) ovvero che $f(x,y)$ è differenziabile se esistono e sono continue le sue derivate parziali nel punto preso in considerazione. Tuttavia guardando alcuni esercizi svolti ho notato che viene fatto questo limite, che deriva dalla definizione di differenziale se non sbaglio.
$lim_((h,k)→(0,0))(f(x+h,y+k)−f(x,y)−f'x(x,y)h−f'y(x,y)k)/sqrt((h^2)+(k^2))=0$
non capisco una cosa ma per $f'x(x,y)h$ si intende $(del f(x,y))/(del x)$$h$ ovvero la derivata parziale per h?
e un secondo dubbio riguarda appunto $(h,k)$ questi due valori sono quelli del punto dove devo verificare la differenziabilita???
io per vedere se una funzione $f(x,y)$ sia differenziabile in un punto ho tenuto conto del teorema di cauchy (cosi è come lo ha ciamato la professoressa) ovvero che $f(x,y)$ è differenziabile se esistono e sono continue le sue derivate parziali nel punto preso in considerazione. Tuttavia guardando alcuni esercizi svolti ho notato che viene fatto questo limite, che deriva dalla definizione di differenziale se non sbaglio.
$lim_((h,k)→(0,0))(f(x+h,y+k)−f(x,y)−f'x(x,y)h−f'y(x,y)k)/sqrt((h^2)+(k^2))=0$
non capisco una cosa ma per $f'x(x,y)h$ si intende $(del f(x,y))/(del x)$$h$ ovvero la derivata parziale per h?
e un secondo dubbio riguarda appunto $(h,k)$ questi due valori sono quelli del punto dove devo verificare la differenziabilita???
Risposte
Ciao ferretti.
Scritta così ci si sbaglia
In generale:
data una funzione a due variabili $f(x,y):A subseteq mathbb(R)^2->mathbb(R)$, la funzione si dice differenziabile in un punto $(x_0,y_0)$ se
$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$
con
$f_x(x,y)=partial/(partial x) f(x,y)$
$f_y(x,y)=partial/(partial y) f(x,y)$
Di conseguenza, una funzione a due variabili $f(x,y):A subseteq mathbb(R)^2->mathbb(R)$ si dice differenziabile in $A$ se è differenziabile in ogni suo punto.
La differenziabilità in $A$ può essere controllata anche sfruttando la condizione sufficiente (ma non necessaria) che la funzione sia continua e abbia derivate parziali continue.
Scritta così ci si sbaglia
In generale:
data una funzione a due variabili $f(x,y):A subseteq mathbb(R)^2->mathbb(R)$, la funzione si dice differenziabile in un punto $(x_0,y_0)$ se
$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$
con
$f_x(x,y)=partial/(partial x) f(x,y)$
$f_y(x,y)=partial/(partial y) f(x,y)$
Di conseguenza, una funzione a due variabili $f(x,y):A subseteq mathbb(R)^2->mathbb(R)$ si dice differenziabile in $A$ se è differenziabile in ogni suo punto.
La differenziabilità in $A$ può essere controllata anche sfruttando la condizione sufficiente (ma non necessaria) che la funzione sia continua e abbia derivate parziali continue.
ah ok! perfetto grazie mille del chiarimento!!
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