Differenziabilità di una funzione
Salve a tutti,
mi trovo il segeuente esercizio: data la funzione
$f(x)={(1/(xy) text{ } x!=0, y!=0),(1 text{ } x=0, y=0):}$
stabilire se è continua e differenziabile.
Dunque, siccome la differenziabilità di una funzione $f:RR^2 \to RR$ implica la continuità, mi basta verificare la differenziabilità di tale funzione nel punto $(0,0)$.
Da quello che so, una funzione $f$ si dice differenziabile in un punto $x_0$ se esiste un'approssimazione lineare della funzione in quel punto, ossia se $EE \lambda in RR^n: f(x)=f(x_0)+<\lambda, x-x_0>+ o(||x-x_0||)$.
Ovviamente questo valore $\lambda$ corrisponde al gradiente della funzione $\grad f(x_0)$.
Dunque risolvo i limiti per $x$ e per $y$ separatamente così:
$lim_(x->0) 1/(x*0)=oo$ e $lim_(y->0) 1/(0*y)=oo$
allora essendo i due limiti non finiti, la funzione non è differenziabile.
Allora torno alla continuità, e verifico che siccome $lim_((x,y)->(0,0)) 1/(xy) != 1$ la funzione non è continua.
Questo è il procedimento che utilizzerei, ma sono quasi sicuro che ci sia qualcosa di sbagliato. Consigli?
mi trovo il segeuente esercizio: data la funzione
$f(x)={(1/(xy) text{ } x!=0, y!=0),(1 text{ } x=0, y=0):}$
stabilire se è continua e differenziabile.
Dunque, siccome la differenziabilità di una funzione $f:RR^2 \to RR$ implica la continuità, mi basta verificare la differenziabilità di tale funzione nel punto $(0,0)$.
Da quello che so, una funzione $f$ si dice differenziabile in un punto $x_0$ se esiste un'approssimazione lineare della funzione in quel punto, ossia se $EE \lambda in RR^n: f(x)=f(x_0)+<\lambda, x-x_0>+ o(||x-x_0||)$.
Ovviamente questo valore $\lambda$ corrisponde al gradiente della funzione $\grad f(x_0)$.
Dunque risolvo i limiti per $x$ e per $y$ separatamente così:
$lim_(x->0) 1/(x*0)=oo$ e $lim_(y->0) 1/(0*y)=oo$
allora essendo i due limiti non finiti, la funzione non è differenziabile.
Allora torno alla continuità, e verifico che siccome $lim_((x,y)->(0,0)) 1/(xy) != 1$ la funzione non è continua.
Questo è il procedimento che utilizzerei, ma sono quasi sicuro che ci sia qualcosa di sbagliato. Consigli?
Risposte
Ciao Hadar,
a me piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, poi magari l'idea che ci facciamo dell'andamento della funzione può aiutarci ad intuire le risposte alle domande che ci poniamo
$f(x,y)={(1/(xy) text{ } x!=0, y!=0),(1 text{ } x=0, y=0):}$
Escludendo gli assi coordinati, origine compresa, a mio avviso questa funzione è positiva in corrispondenza del I e III quadrante, mentre è negativa negli altri due. Le curve di livello sono delle iperboli equilatere.
Se ci avviciniamo all'origne dal I o dal III quadrante otteniamo valori sempre più grandi e positivi, mentre se ci avviciniamo dal II o dal IV quadrante otteniamo valori molto grandi in valore assoluto, ma negativi.
Se ci allontaniamo dall'origine e dagli assi coordinati (mettiamo di percorrere la bisettrice $y=x$) via via che ci allontaniamo dall'origine otteniamo valori sempre più piccoli, quasi zero, ma positivi. Se percorriamo l'altra bisettrice $y=-x$ di nuovo otteniamo valori molto piccoli in valore assoluto, quasi zero, ma negativi.
In corrispondenza degli assi coordinati, origine compresa, invece la nostra funzione vale 1.
Ti sembra corretto fino qui?
a me piace immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, poi magari l'idea che ci facciamo dell'andamento della funzione può aiutarci ad intuire le risposte alle domande che ci poniamo
$f(x,y)={(1/(xy) text{ } x!=0, y!=0),(1 text{ } x=0, y=0):}$
Escludendo gli assi coordinati, origine compresa, a mio avviso questa funzione è positiva in corrispondenza del I e III quadrante, mentre è negativa negli altri due. Le curve di livello sono delle iperboli equilatere.
Se ci avviciniamo all'origne dal I o dal III quadrante otteniamo valori sempre più grandi e positivi, mentre se ci avviciniamo dal II o dal IV quadrante otteniamo valori molto grandi in valore assoluto, ma negativi.
Se ci allontaniamo dall'origine e dagli assi coordinati (mettiamo di percorrere la bisettrice $y=x$) via via che ci allontaniamo dall'origine otteniamo valori sempre più piccoli, quasi zero, ma positivi. Se percorriamo l'altra bisettrice $y=-x$ di nuovo otteniamo valori molto piccoli in valore assoluto, quasi zero, ma negativi.
In corrispondenza degli assi coordinati, origine compresa, invece la nostra funzione vale 1.
Ti sembra corretto fino qui?
Ciao gio73, e grazie per la risposta.
Certo, tutto corretto. Se prendessimo in considerazione soltanto il primo "pezzo" della funzione questi non sarebbe definito in $x=0$ ed $y=0$ (in quanto andrebbe ovviamente a $+-oo$) , mentre grazie al fatto che viene imposto il valore $1$ in tali punti, la funzione è definita su tutto $RR^2$.
Se la funzione fosse stata ad una sola variabile $x$ (ovvero nella forma $y=1/x$) avrei detto che in corrispondenza dell'asse $y$, ossia in $x=0$, avrei avuto un punto di discontinuità di seconda specie. Intuitivamente potrei seguire lo stesso ragionamento per le funzioni a più variabili, ottenendo infiniti punti di discontinuità in corrispondenza degli interi assi $x$ ed $y$, e nell'origine (in questo caso la discontinuità "proverrebbe" da tutte le direzioni).
Desumo quindi che la funzione non è continua. Allora dal momento che la non continuità implica la non differenziabilità, $f$ non è differenziabile. Volendo però dimostrare anche la non differenziabilità, dato che le derivate direzionali devono esistere ed essere finite perchè $f$ sia differenziabile, basta dimostrare che queste non sono finite?
Certo, tutto corretto. Se prendessimo in considerazione soltanto il primo "pezzo" della funzione questi non sarebbe definito in $x=0$ ed $y=0$ (in quanto andrebbe ovviamente a $+-oo$) , mentre grazie al fatto che viene imposto il valore $1$ in tali punti, la funzione è definita su tutto $RR^2$.
Se la funzione fosse stata ad una sola variabile $x$ (ovvero nella forma $y=1/x$) avrei detto che in corrispondenza dell'asse $y$, ossia in $x=0$, avrei avuto un punto di discontinuità di seconda specie. Intuitivamente potrei seguire lo stesso ragionamento per le funzioni a più variabili, ottenendo infiniti punti di discontinuità in corrispondenza degli interi assi $x$ ed $y$, e nell'origine (in questo caso la discontinuità "proverrebbe" da tutte le direzioni).
Desumo quindi che la funzione non è continua. Allora dal momento che la non continuità implica la non differenziabilità, $f$ non è differenziabile. Volendo però dimostrare anche la non differenziabilità, dato che le derivate direzionali devono esistere ed essere finite perchè $f$ sia differenziabile, basta dimostrare che queste non sono finite?
"Hadar":
Desumo quindi che la funzione non è continua. Allora dal momento che la non continuità implica la non differenziabilità, $f$ non è differenziabile.
sono d'accordo.
"Hadar":
Volendo però dimostrare anche la non differenziabilità, dato che le derivate direzionali devono esistere ed essere finite perchè $f$ sia differenziabile, basta dimostrare che queste non sono finite?
Devo riflettere bene (i miei studi non sono affatto freschi! ho aperto un quaderno ormai maggiorenne), a mio avviso è necessario domandarsi cosa significa l'espressione "la funzione è differenziabile (in un punto)". Tu cosa mi dici?
"gio73":
a mio avviso è necessario domandarsi cosa significa l'espressione "la funzione è differenziabile (in un punto)". Tu cosa mi dici?
Direi che nel punto $x_0$ il gradiente della funzione $\grad f(x_0)$ esiste, ed esiste anche il piano tangente alla funzione (che dipende anch'esso dalle derivate direzionali). In effetti, graficamente, nella funzione considerata nel punto $(0,0)$ non può esistere un piano (a meno che esso stesso non sia un punto, ma in quel caso non sarebbe già più un piano). Credo di aver capito.
Anche il mio vecchierrimo quaderno è d'accordo con te, buon ferragosto Hadar!
Grazie mille, e buon ferragosto anche a te
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