Differenziabilità di una funzione
La funzione ha questa legge
[tex]\frac{2x^2-y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]
Se le coordinate sono diverse da (0,0), altrimenti vale 0.
Devo studiarne la differenziabilità, voglio verificare che esista la derivata parziale rispetto ad x ed uso la definizione, dovrei avere:
[tex]\frac{2x^2}{x\sqrt{x^2}}[/tex] e come risultato ottenere:
[tex]\frac{2x}{|x|}[/tex] o sbaglio?
[tex]\frac{2x^2-y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]
Se le coordinate sono diverse da (0,0), altrimenti vale 0.
Devo studiarne la differenziabilità, voglio verificare che esista la derivata parziale rispetto ad x ed uso la definizione, dovrei avere:
[tex]\frac{2x^2}{x\sqrt{x^2}}[/tex] e come risultato ottenere:
[tex]\frac{2x}{|x|}[/tex] o sbaglio?
Risposte
Devi verificare che esistono le derivate parziali in $(0,0)$? Se sì, scrivi meglio la definizione di esse.
Si la derivabilità in (0,0) rispetto ad x
P.S si può indicare così?
Derivata parziale in(x,0)?
[tex]\lim_{x \to x0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}[/tex]
Ora non dovrei avere:
[tex]\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}[/tex] tutto fratto x vista la definizione?
P.S si può indicare così?
Derivata parziale in(x,0)?
[tex]\lim_{x \to x0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}[/tex]
Ora non dovrei avere:
[tex]\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}[/tex] tutto fratto x vista la definizione?
Veramente devi fare $\lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$.
E' quello che ho scritto io in modo diverso, l'abbiamo scritto così noi.
Ad ogni modo considerando come dici tu, la h al posto della x, la h compare anche al denominatore come tu stesso hai scritto.
Quindi non dovrebbe dventare:
[tex]\frac{\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}}{x}[/tex]
Perchè è sbagliato...e la x nell'ultimo denominatore verrà moltiplicata per il denominatore con la radice.
Cosa sbaglio nell'applicare la formula, mi sembra precisa...
Ad ogni modo considerando come dici tu, la h al posto della x, la h compare anche al denominatore come tu stesso hai scritto.
Quindi non dovrebbe dventare:
[tex]\frac{\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}}{x}[/tex]
Perchè è sbagliato...e la x nell'ultimo denominatore verrà moltiplicata per il denominatore con la radice.
Cosa sbaglio nell'applicare la formula, mi sembra precisa...
@Daréios: Ma come fa il valore della derivata in un punto a venirti una funzione?
Il limite del rapporto incrementale, se esiste, è un numero.
Il limite del rapporto incrementale, se esiste, è un numero.
No no scusate, penso sia errore mio che ho poca pazienza, non è che quello che risulta è una funzione, non ho scritto prima il simbolo del limite, certo che deve essere un numero ma in base a come ho fatto io mi verrebbe:
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}}{x}[/tex]
Mentre un mio compagno aveva scritto il limite identico solo che non c'era la x che moltiplica il denominatore con la radice quadrata, ma è sbagliato come ho fatto io?
Non mi sembra...credo ci sia quella x prima della radice.
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{2x^2}{x\sqrt{x^2}}[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}}{x}[/tex]
Mentre un mio compagno aveva scritto il limite identico solo che non c'era la x che moltiplica il denominatore con la radice quadrata, ma è sbagliato come ho fatto io?
Non mi sembra...credo ci sia quella x prima della radice.
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{2x^2}{x\sqrt{x^2}}[/tex]
Comunque il rapporto incrementale che hai scritto tu non equivale a quello che ho scritto io... cosa vuol dire scrivere $f(x-y_0)$ se $f$ è funzione di $x$ e $y$?
In base a dove calcoli la derivata se consideriamo una generca funzione [tex](f(x,y)[/tex]
Allora la funzione si dirà derivabile parzialmente rispetto ad x nel punto (x,y0) se:
E poi ci va la definizionec he ho scritto io e che era sbagliata perchè non ci voleva un meno ma una virgola.
Allora la funzione si dirà derivabile parzialmente rispetto ad x nel punto (x,y0) se:
E poi ci va la definizionec he ho scritto io e che era sbagliata perchè non ci voleva un meno ma una virgola.
Viene $(f(x,0)-f(0,0))/x=\frac{2x}{|x|}$, ma ora devi passare al limite per $x \to 0$.
Bè già da qui non potrei dire che non esista la derivata parziale?
Avrei che la funzione non è derivabile poichè non esiste la derivata in |x| con x=0, pertanto non è derivabile.
O no?
Avrei che la funzione non è derivabile poichè non esiste la derivata in |x| con x=0, pertanto non è derivabile.
O no?
Non è sufficiente dire che il limite in questione non esiste perché non esiste la derivata di $|x|$: per esempio $|x|^2$ "contiene" il modulo di $x$, ma nonostante ciò è una funzione derivabile ovunque. Per concludere basta che mostri che non esiste $\lim_{x \to 0}\frac{2x}{|x|}$.
Mah..mi verrebbe da dire:
Il limite non esiste perchè:
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{2x}{|x|}[/tex]
Se considero il valore assoluto e calcolo i limiti laterali trovo:
[tex]\lim_{x \to 0^+ }\frac{2x}{x}=2[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0^- }\frac{2x}{-x}=-2[/tex]
Poichè i limiti laterali sono diversi la funzione non è derivabile rispetto ad x, dunque non sarà nemmeno differenziabile in (0,0).
Due domande:
1) Così avrei fatto bene?
2) Perchè non è suficiente dire che il valore assoluto non è derivabile in 0?
Cioè se uno dei problemi che nasce con la derivabilità è quando bisogna calcolarla in x=0 per |x| perchè se lì ce l'ho non posso dirlo?
|x| non è derivabile in 0 a quanto sapevo.....come la radice non lo è se [tex]\sqrt{x}[/tex] in x =0.
Quindi perchè non basta? Dato che è proprio |x| preciso identico e mi è stato detto che non è derivabile?
Il limite non esiste perchè:
[tex]\lim_{x \to 0 }\frac{2x}{|x|}[/tex]
Se considero il valore assoluto e calcolo i limiti laterali trovo:
[tex]\lim_{x \to 0^+ }\frac{2x}{x}=2[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0^- }\frac{2x}{-x}=-2[/tex]
Poichè i limiti laterali sono diversi la funzione non è derivabile rispetto ad x, dunque non sarà nemmeno differenziabile in (0,0).
Due domande:
1) Così avrei fatto bene?
2) Perchè non è suficiente dire che il valore assoluto non è derivabile in 0?
Cioè se uno dei problemi che nasce con la derivabilità è quando bisogna calcolarla in x=0 per |x| perchè se lì ce l'ho non posso dirlo?
|x| non è derivabile in 0 a quanto sapevo.....come la radice non lo è se [tex]\sqrt{x}[/tex] in x =0.
Quindi perchè non basta? Dato che è proprio |x| preciso identico e mi è stato detto che non è derivabile?
1) sì.
2) vale lo stesso esempio che ti ho fatto prima: non basta che una funzione "contenga" una funzione non derivabile per far sì che l'intera funzione non sia derivabile. In questo caso la cosa funzionava, ma non è una regola generale.
2) vale lo stesso esempio che ti ho fatto prima: non basta che una funzione "contenga" una funzione non derivabile per far sì che l'intera funzione non sia derivabile. In questo caso la cosa funzionava, ma non è una regola generale.
Ah perfetto...ho capito.
D'altronde è quello che succede quando si chiede di studiare la derivabilità, cè magari una funzione con la radice e bisogna usare la definizione per studiarla nel punto x=0 e non si può dire che solo perchè c'è "una parte" che di suo non è derivabile non lo sia l'intera funzione.
Ti ringrazio Luca
D'altronde è quello che succede quando si chiede di studiare la derivabilità, cè magari una funzione con la radice e bisogna usare la definizione per studiarla nel punto x=0 e non si può dire che solo perchè c'è "una parte" che di suo non è derivabile non lo sia l'intera funzione.
Ti ringrazio Luca
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