Differenziabilità di una funzione
Salve! chiedo a voi del forum un chiarimento sulla differenziabilità di una funzione in due variabili ed in particolare sulla verifica. Mi spiego meglio: devo verificare la differenziabilità di una funzione su un punto dato \( (x_0, y_0) \) e volevo farlo evitando la definizione e usando il teorema del differenziale che afferma che una funzione è differenziabile su un punto se le sue derivate parziali sono continue in quel punto. Ma una volta calcolate le due derivate mi accorgo che non sono proprio definite sul punto \( (x_0, y_0) \) . Quindi mi chiedo, la funzione non è differenziabile? oppure in questo caso il teorema non porta a niente e devo provare altre strade? Grazie in anticipo!
Risposte
La proposizione che hai citato (in modo incompleto), e' una condizione sufficiente per la differenziabilità, ma non necessaria.
Per la verità, è vero che la continuità delle derivate parziali è una condizione sufficiente, ma non necessaria per la differenziabilità, ma la derivabilità della funzione in un punto è condizione necessaria della differenziabilità.
Se qualcuna delle derivate parziali in quel punto non esiste, allora la funzione non può essere differenziabile in quel punto.
La differenziabiità in un punto implica la derivabilità in quel punto.
Se una funzione $f$ è differenziabile in un punto $x_o$, allora è derivabile in $x_0$ in tutte le direzioni.
Infatti, preso un vettore di modulo unitario $v$, per la definizione di derivata direzionale e di differenziabilità di $f$:
$ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0))/t= $ $ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0)-L(tv))/t-L(v)=L(v) $ ,
dove $L(v)$ il differenziale calcolato in $v$.
Otteniamo quindi che $D_vf(x_0)=L(v)$,
(dove $D_vf(x_0)$ è la derivata di $f$ nella direzione $v$ in $x_0$).
Se qualcuna delle derivate parziali in quel punto non esiste, allora la funzione non può essere differenziabile in quel punto.
La differenziabiità in un punto implica la derivabilità in quel punto.
Se una funzione $f$ è differenziabile in un punto $x_o$, allora è derivabile in $x_0$ in tutte le direzioni.
Infatti, preso un vettore di modulo unitario $v$, per la definizione di derivata direzionale e di differenziabilità di $f$:
$ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0))/t= $ $ lim_(t -> 0) (f(x_0+tv)-f(x_0)-L(tv))/t-L(v)=L(v) $ ,
dove $L(v)$ il differenziale calcolato in $v$.
Otteniamo quindi che $D_vf(x_0)=L(v)$,
(dove $D_vf(x_0)$ è la derivata di $f$ nella direzione $v$ in $x_0$).
"gabriella127":
La differenziabiità in un punto implica la derivabilità in quel punto.
In generale, non vale l'implicazione inversa.
Of course.
Quindi la non derivabilità della funzione su un punto basta a dire che la funzione non è differenziabile su quel punto?
Vi faccio un esempio più pratico:
Questa funzione è differenziabile in \( (0,0) \) ?
\( \sqrt[3]{x^2y} \)
Vi faccio un esempio più pratico:
Questa funzione è differenziabile in \( (0,0) \) ?
\( \sqrt[3]{x^2y} \)
"Ricx":
Quindi la non derivabilità della funzione su un punto basta a dire che la funzione non è differenziabile su quel punto?
Certamente, perché differenziabile implica derivabile; quindi se una funzione non è derivabile non è neanche differenziabile.
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