Differenziabilità di una funzione
il professore ci ha dato da studiare la differenziabilità della seguente funzione
$f(x)=1+(x-1)^(2/3)y^(1/3)$
vorrei che mi chiariste dei dubbi
la funzione è continua su tutto $RR^2$ dunque non vi sono punti dopo posso applicare l'implicazione $text{non continua} rArr text{non differenziabile}$
calcolo le derivate parziali
$(df)/(dx)=2/3(x-1)^(-1/3)y^(1/3)$
$(df)/(dy)=1/3(x-1)^(2/3)y^(-2/3)$
nell'insieme ${x!=1,y!=0}$ le derivate parziali esistono continue entrambe,dunque per il teorema del differenziale totale la funzione è differenziabile
nei punti $p$ avanzati dovrei verificare che
$lim_(h->0)(f(p+h)-f(p)- <\nablaf(p),h>)/h=0$
ma come faccio a calcolare $\nablaf(p)$ se in $p$ le derivate parziali non esistono?
$f(x)=1+(x-1)^(2/3)y^(1/3)$
vorrei che mi chiariste dei dubbi
la funzione è continua su tutto $RR^2$ dunque non vi sono punti dopo posso applicare l'implicazione $text{non continua} rArr text{non differenziabile}$
calcolo le derivate parziali
$(df)/(dx)=2/3(x-1)^(-1/3)y^(1/3)$
$(df)/(dy)=1/3(x-1)^(2/3)y^(-2/3)$
nell'insieme ${x!=1,y!=0}$ le derivate parziali esistono continue entrambe,dunque per il teorema del differenziale totale la funzione è differenziabile
nei punti $p$ avanzati dovrei verificare che
$lim_(h->0)(f(p+h)-f(p)- <\nablaf(p),h>)/h=0$
ma come faccio a calcolare $\nablaf(p)$ se in $p$ le derivate parziali non esistono?
Risposte
Sono sicuro che sul tuo libro c'è scritto che la differenziabilità implica l'esistenza delle derivate parziali in ogni direzione, quindi...
Quindi in fatto che non esistano le derivate parziali implica che non sia differenziabile,no?
grazie,lo so era un dubbio scemo ma non abbiamo un testo di riferimento (si è vero,potrei cercarmelo) e il professore spiega coi piedi
solo per chiarirmi le idee ti chiedo una conferma:
allora le implicazioni tra derivate parziali e differenziabilità sono queste
$text{deriv.parz. esistono continue} rArr text{differenziabilità}$
$text{differenziabilità} rArr text{deriv.parz. esistono}$
giusto?
grazie,lo so era un dubbio scemo ma non abbiamo un testo di riferimento (si è vero,potrei cercarmelo) e il professore spiega coi piedi
solo per chiarirmi le idee ti chiedo una conferma:
allora le implicazioni tra derivate parziali e differenziabilità sono queste
$text{deriv.parz. esistono continue} rArr text{differenziabilità}$
$text{differenziabilità} rArr text{deriv.parz. esistono}$
giusto?
Puff!
[size=50]Qui avevo scritto una scemenza[/size]
[size=50]Qui avevo scritto una scemenza[/size]
ok grazie,gentilissimo
ho un nuovo dubbio...ho trovato uno straccio di soluzione di questo esercizio da parte del mio professore e lui ha un'opinione diversa.
$(df)/(dx)$ non esiste sulla retta $x=1$
mentre $(df)/(dy)$ non esiste sulla retta $y=0$
però nel punto $(1,0)$ lui dice
$y=0 rArr (df)/(dx)=0$ e $x=1 rArr (df)/(dy)=0$
quindi in quel punto non è vero che il gradiente non esiste,anzi è nullo e lì devo testare la differenziabilità
a me questa storia non convince molto...riuscite a convincermi della ragionevolezza di questo argomento?
$(df)/(dx)$ non esiste sulla retta $x=1$
mentre $(df)/(dy)$ non esiste sulla retta $y=0$
però nel punto $(1,0)$ lui dice
$y=0 rArr (df)/(dx)=0$ e $x=1 rArr (df)/(dy)=0$
quindi in quel punto non è vero che il gradiente non esiste,anzi è nullo e lì devo testare la differenziabilità
a me questa storia non convince molto...riuscite a convincermi della ragionevolezza di questo argomento?
Ok, ho approfondito la questione ed ho corretto il mio post precedente in cui dicevo una cosa [che non c'entra molto con questo argomento in realtà] che non era corretta.
Ripartiamo dal seguente teorema, che prendo da Pagani, Salsa - Analisi matematica 1
Teorema
Sia \(f : \mathbb{R}^n \supset A \to \mathbb{R}\) con \(A\) aperto; se \(f\) è differenziabile in \(x\), allora
1) \(f\) è continua in \(x\)
2) \(f\) è derivabile in ogni direzione in \(x\).
Quindi siccome la derivabilità, come la differenziabilità, è una proprietà puntuale [non una proprietà locale] le derivate possono esistere anche su una retta.
Non mi è molto chiaro però quello che intende dicendo che sulle rette \(x =1\) e \(y=0\) le derivate non esistono, ma nel loro punto di intersezione sì.
Ripartiamo dal seguente teorema, che prendo da Pagani, Salsa - Analisi matematica 1
Teorema
Sia \(f : \mathbb{R}^n \supset A \to \mathbb{R}\) con \(A\) aperto; se \(f\) è differenziabile in \(x\), allora
1) \(f\) è continua in \(x\)
2) \(f\) è derivabile in ogni direzione in \(x\).
Quindi siccome la derivabilità, come la differenziabilità, è una proprietà puntuale [non una proprietà locale] le derivate possono esistere anche su una retta.
Non mi è molto chiaro però quello che intende dicendo che sulle rette \(x =1\) e \(y=0\) le derivate non esistono, ma nel loro punto di intersezione sì.
Beh, basta guardare cosa succede...
Prendiamo un punto \((x,0)\): abbiamo:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,0) - f(x,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{1-1}{h} = 0
\]
quindi \(\frac{\partial f}{\partial x} (x,0)=0\), mentre:
\[
\lim_{k\to 0} \frac{f(x,k) - f(x,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{1+(x-1)^{2/3} k^{1/3} -1}{k} \quad \text{non esiste}
\]
dunque \(f\) non è derivabile rispetto ad \(y\) nei punti della retta di equazione \(y=0\).
Analogamente, sui punti della retta d'equazione \(x=1\) si ha \(\frac{\partial f}{\partial y} (1,y) =0\), ma \(f\) non è derivabile rispetto ad \(x\).
Conseguentemente, l'unico punto in cui è possibile che la \(f\) sia differenziabile è il punto di intersezione tra le due rette, cioé \((1,0)\), punto in cui esistono (e sono nulle) entrambe le derivate parziali prime.
Per provare se questo è effettivamente il caso, basta vedere se il limite:
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(1+h,k)- f(1,0)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{\cancel{1}+h^{2/3} k^{1/3} - \cancel{1}}{\sqrt{h^2+k^2}}
\]
esiste ed è nullo... Ma si vede che non è questo il caso.
Prendiamo un punto \((x,0)\): abbiamo:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,0) - f(x,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{1-1}{h} = 0
\]
quindi \(\frac{\partial f}{\partial x} (x,0)=0\), mentre:
\[
\lim_{k\to 0} \frac{f(x,k) - f(x,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{1+(x-1)^{2/3} k^{1/3} -1}{k} \quad \text{non esiste}
\]
dunque \(f\) non è derivabile rispetto ad \(y\) nei punti della retta di equazione \(y=0\).
Analogamente, sui punti della retta d'equazione \(x=1\) si ha \(\frac{\partial f}{\partial y} (1,y) =0\), ma \(f\) non è derivabile rispetto ad \(x\).
Conseguentemente, l'unico punto in cui è possibile che la \(f\) sia differenziabile è il punto di intersezione tra le due rette, cioé \((1,0)\), punto in cui esistono (e sono nulle) entrambe le derivate parziali prime.
Per provare se questo è effettivamente il caso, basta vedere se il limite:
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{f(1+h,k)- f(1,0)}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{\cancel{1}+h^{2/3} k^{1/3} - \cancel{1}}{\sqrt{h^2+k^2}}
\]
esiste ed è nullo... Ma si vede che non è questo il caso.
Grazie della chiarificazione, gugo. Come mio solito, mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua 
mmmh va ben dai ci sono,grazie
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