Differenziabilita di una funzione
avrei questo esercizio ma non so come risolverlo, mi potete dare una mano?
calcolare il differenziale della funzione $f$ in $(0,0)$
$f(x,y)={((x^4+y^2)*log(1/(x^2+y^2)), if x!=0),(0, if x=0):}$
dovrei applicare la definizione di differenziabilità?
calcolare il differenziale della funzione $f$ in $(0,0)$
$f(x,y)={((x^4+y^2)*log(1/(x^2+y^2)), if x!=0),(0, if x=0):}$
dovrei applicare la definizione di differenziabilità?
Risposte
Da come è scritto il testo, pare che tu debba solo calcolare il differenziale (sembra implicito nel testo che a $f$ sia differenziabile...). Magari è un esercizio con più punti e hai già verificato che la funzione è differenziabile?
Ad ogni modo, se devi solo calcolare il differenziale è piuttosto semplice. Tu che cosa hai provato a fare?
Ad ogni modo, se devi solo calcolare il differenziale è piuttosto semplice. Tu che cosa hai provato a fare?
si in effetti è composto da due parti
nella prima devo verificare se è differenziabile nel punto $(0,0)$ usando la formala trovo che il resto $R(h,k)$ è=
$R(h,k) = f(x_0+h, y_0+k)- f(x_0,y_0)-del f(x_0,y_0)/(delx)*h -del f(x_0,y_0)/(dely)*k $
$R(h,k)= (h^2+k^2)*log(1/(h^2+k^2))-0-0-0$
e deve valere: $lim_(h,k->0,0)((h^2+k^2)*log(1/(h^2+k^2)))/sqrt(h^2+k^2)$
e sinceramente mi perdo gia nel limite e non so come proseguire
nella prima devo verificare se è differenziabile nel punto $(0,0)$ usando la formala trovo che il resto $R(h,k)$ è=
$R(h,k) = f(x_0+h, y_0+k)- f(x_0,y_0)-del f(x_0,y_0)/(delx)*h -del f(x_0,y_0)/(dely)*k $
$R(h,k)= (h^2+k^2)*log(1/(h^2+k^2))-0-0-0$
e deve valere: $lim_(h,k->0,0)((h^2+k^2)*log(1/(h^2+k^2)))/sqrt(h^2+k^2)$
e sinceramente mi perdo gia nel limite e non so come proseguire
Se hai mostrato che quel limite è zero, allora hai finito, perché - come certamente saprai dalla teoria - hai già scritto, lì davanti a te, il differenziale.
Se il problema è calcolare quel limite, ti invito a raccontarci che cosa hai fatto e dove ti blocchi esattamente (ad occhio, la parola chiave direi che è "coordinate polari").
Se il problema è calcolare quel limite, ti invito a raccontarci che cosa hai fatto e dove ti blocchi esattamente (ad occhio, la parola chiave direi che è "coordinate polari").
beh si... trasformato in coordinate polari diventa $r^2*log(1/r^2)/r$ e il limite è $0$ giusto?
ma non ho capito questo:
potresti essere piu specifico?
ma non ho capito questo:
"Paolo90":
Se hai mostrato che quel limite è zero, allora hai finito, perché - come certamente saprai dalla teoria - hai già scritto, lì davanti a te, il differenziale.
potresti essere piu specifico?
Se hai una funzione $f :\Omega \subseteq \RR^2 \to \RR$ differenziabile, come calcoli il suo differenziale in un punto? Hai provato a vedere la definizione del tuo libro\tuoi appunti?
copiando dal libro:
una funzione $f: D sub RR^n rightarrow RR^m$ si dice differenziabile in $x in A=D$ se esiste un'applicazione lineare $L: RR^n rightarrow RR^m$ tale che:
$f(x+h)-f(x)= L(h)+ o(||h||)$ per $h rightarrow 0$
tale applicazione lineare prende il nome di differenziale di $f$ in $x$
e sinceramente non ho capito come applicare la definizione dato che non ci sono esempi
una funzione $f: D sub RR^n rightarrow RR^m$ si dice differenziabile in $x in A=D$ se esiste un'applicazione lineare $L: RR^n rightarrow RR^m$ tale che:
$f(x+h)-f(x)= L(h)+ o(||h||)$ per $h rightarrow 0$
tale applicazione lineare prende il nome di differenziale di $f$ in $x$
e sinceramente non ho capito come applicare la definizione dato che non ci sono esempi
Va bene, d'accordo. Tu hai capito perché vuoi che quel limite che hai calcolato più su sia zero affinché la tua $f$ sia differenziabile? Ci hai riflettuto su? In particolare, sai che legame c'è tra la definizione che hai scritto
e
E confrontando queste due espressioni riesci a dire chi è $L$ nel tuo caso?
Sono volutamente "criptico", non per cattiveria, ma lo faccio per te: credo sia assolutamente necessario che ci arrivi quanto più possibile da solo, sono concetti molto importanti e la loro comprensione è fondamentale.
P.S. Che libro è? Che cosa studi, se posso chiedere?
"manu91":
$f(x+h)-f(x)= L(h)+ o(||h||)$ per $h rightarrow 0$
e
"manu91":
$ R(h,k) = f(x_0+h, y_0+k)- f(x_0,y_0)-del f(x_0,y_0)/(delx)*h -del f(x_0,y_0)/(dely)*k $
E confrontando queste due espressioni riesci a dire chi è $L$ nel tuo caso?
Sono volutamente "criptico", non per cattiveria, ma lo faccio per te: credo sia assolutamente necessario che ci arrivi quanto più possibile da solo, sono concetti molto importanti e la loro comprensione è fondamentale.
P.S. Che libro è? Che cosa studi, se posso chiedere?
deve fare zero per la continuità immagino, per L non saprei proprio
il libro è analisi matematica e complementi di barutello, studio ingegneria... lo so che ci dovrei arrivare da solo vista la facolta che faccio ma non mi torna haahahahah
il libro è analisi matematica e complementi di barutello, studio ingegneria... lo so che ci dovrei arrivare da solo vista la facolta che faccio ma non mi torna haahahahah
Ma come non ci sono esempi sul Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini? E' pieno di esempi e di esercizi risolti; pag. 310 e segg, ad esempio, fanno proprio al caso tuo.
E' inutile che proseguiamo in questa conversazione fino a che tu non chiarisci un po' di teoria; è essenziale aver capito quella, altrimenti sono chiacchiere al vento e stai solo perdendo tempo.
E' inutile che proseguiamo in questa conversazione fino a che tu non chiarisci un po' di teoria; è essenziale aver capito quella, altrimenti sono chiacchiere al vento e stai solo perdendo tempo.
io continuo a vedere esercizi sulla differenziabilita non sul differenziale
va beh
grazie lo stesso
ciao
va beh
grazie lo stesso
ciao
Hai letto il riquadro di pag. 287 in alto? Il differenziale - se esiste - non è altro che l'applicazione lineare che ha come matrice associata (rispetto alla base standard) il gradiente della funzione calcolato nel punto.
Quindi una volta che hai verificato che un'applicazione è differenziabile è fatta: il differenziale l'hai già calcolato prima. Nel tuo caso quindi basta che consideri le derivate prime di $f$ in $(0,0)$: quella è la matrice del tuo differenziale.
Quindi una volta che hai verificato che un'applicazione è differenziabile è fatta: il differenziale l'hai già calcolato prima. Nel tuo caso quindi basta che consideri le derivate prime di $f$ in $(0,0)$: quella è la matrice del tuo differenziale.
quindi posso definirlo come la velocita di variazione della funzione?
"manu91":
quindi posso definirlo come la velocita di variazione della funzione?
E che cosa vuol dire?
"Paolo90":
Il differenziale - se esiste - non è altro che l'applicazione lineare che ha come matrice associata (rispetto alla base standard) il gradiente della funzione calcolato nel punto.
Qual è il gradiente di $f$ nel punto $(0,0)$?
$0$
E quindi chi sarà il differenziale? Sarà l'applicazione lineare associata alla matrice nulla, cioè...
${ 0,0 }$
...cioè l'applicazione lineare nulla (che vuol dire \( \{0,0\} \) in questo frangente io non lo so). Ora che l'esercizio l'ho praticamente risolto io è meglio se la smetto di infastidirti con tutte queste domande. Buona fortuna.
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