Differenziabilità di funzioni in più variabili
Ciao! domanda veloce: le funzioni in due variabili definite a tratti come questa:
\( f(x,y)= \)
\( {\frac{x^3+x^2y^2-x^2y+xy^2-y^3}{x^2+y^2}} \) quando \( (x,y)\neq (0,0) \)
\( 0 \) quando \( (x,y) = (0,0) \)
non sono mai differenziabili nell'orgine in quanto non sono ivi derivabili, giusto?
Grazie!
\( f(x,y)= \)
\( {\frac{x^3+x^2y^2-x^2y+xy^2-y^3}{x^2+y^2}} \) quando \( (x,y)\neq (0,0) \)
\( 0 \) quando \( (x,y) = (0,0) \)
non sono mai differenziabili nell'orgine in quanto non sono ivi derivabili, giusto?
Grazie!
Risposte
Risposta veloce: e che ne sai che non è derivabile?
Bhe non lo so effettivamente ora che guardo un po' meglio la funzione (in quanto svolgendo i prodotti del numeratore della derivata è possibile che si semplifichi il denominatore), ma il mio ragionamento era partito col vedere che le derivate parziali avevano entrambe denominatore \( (x^2 + y^2)^2 \) e che quindi non fossero definite nell'orgine
Se un ragionamento non si basa su qualcosa di tangibile, tipo qualche controllo, è solo una perdita di tempo.
Fai i conti.
Fai i conti.
Sono d'accordo con lei, è solo che il mio dubbio si estendeva ad una sfilza di funzioni che avevano il denominatore di quella forma e forse ho scelto l'unico esempio diverso dagli altri in cui c'era la possibilità di semplificarlo. Comunque svolgendo completamente la derivata il denominatore non si semplifica dunque non è derivabile, giusto?
Non c'entra nulla la semplificazione.
Devi verificare che una funzione sia derivabile: come fai?
Devi verificare che una funzione sia derivabile: come fai?
Controllo se le derivate parziali della funzione esistono in un determinato punto (ovviamente per verificare la derivabilità in un punto)
Appunto.
Fai questo controllo e poi ragioni, non viceversa.
Fai questo controllo e poi ragioni, non viceversa.
"Ricx":
Sono d'accordo con lei, è solo che il mio dubbio si estendeva ad una sfilza di funzioni che avevano il denominatore di quella forma e forse ho scelto l'unico esempio diverso dagli altri in cui c'era la possibilità di semplificarlo. Comunque svolgendo completamente la derivata il denominatore non si semplifica dunque non è derivabile, giusto?
quello che intendevo dire è che ho calcolato le derivate parziali e, non semplificandosi il denominatore che rimane
\( (x^2+y^2)^2 \) , le derivate non sono definite in (0,0) e quindi la funzione non è derivabile in quel punto. Forse sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa, quindi scusi XD
Fai vedere i conti che fai...
questa è la derivata parziale rispetto x.
E ciò non risponde in alcun modo alla domanda (leggi: è un calcolo totalmente inutile), che è: la funzione assegnata è derivabile in $(0,0)$ rispetto ad $x$?
Ho capito! continuavo a guardare il denominatore senza accorgergmi che effettivamente al numeratore ci sono tutti elementi dipendenti da x e y e che quindi in (0,0) la derivata si annulla, ma ciò non vuol dire che la funzione non è derivabile, giusto?
No, sei fuori strada su tutta la linea.
La domanda è sempre: la funzione assegnata è derivabile in $(0,0)$ rispetto ad $x$?
La domanda è sempre: la funzione assegnata è derivabile in $(0,0)$ rispetto ad $x$?
\( fx (0,0) = 0 \)
Ciò rende la funzione derivabile?
Ciò rende la funzione derivabile?
[ot]@ gugo, arnett. A proposito di errori frequenti degli studenti.
@ Ricx. Non mi riferisco a te, voglio dire che se gli studenti fanno continuamente lo stesso errore, è qualcosa che andrebbe sottolineato di più.
Un professore di analisi con cui ho fatto un corso disse che lui in un corso precedente per un anno aveva scritto alla lavagna ogni giorno entrando in classe: $ sqrt(lambda ^2)= |lambda | $ (e non $lambda$ e basta).
Allo stesso modo si dovrebbe scrivere alla lavagna ogni giorno per un anno :'Per verificare che una funzione non è derivable in un punto non bisogna usare le regole di derivazione, ma bisogna usare la definizione etc. etc.'.
Ecco, caso mai scriverlo ogni giorno è un po' lungo, si potrebbe proiettare una slide prima di ogni lezione
, oppure, meglio, dura di più, un lapide di marmo sopra la lavagna con su scolpito 'Per verificare etc. etc.)[/ot]
@ Ricx. Non mi riferisco a te, voglio dire che se gli studenti fanno continuamente lo stesso errore, è qualcosa che andrebbe sottolineato di più.
Un professore di analisi con cui ho fatto un corso disse che lui in un corso precedente per un anno aveva scritto alla lavagna ogni giorno entrando in classe: $ sqrt(lambda ^2)= |lambda | $ (e non $lambda$ e basta).
Allo stesso modo si dovrebbe scrivere alla lavagna ogni giorno per un anno :'Per verificare che una funzione non è derivable in un punto non bisogna usare le regole di derivazione, ma bisogna usare la definizione etc. etc.'.
Ecco, caso mai scriverlo ogni giorno è un po' lungo, si potrebbe proiettare una slide prima di ogni lezione
, oppure, meglio, dura di più, un lapide di marmo sopra la lavagna con su scolpito 'Per verificare etc. etc.)[/ot]
è così quindi che verifico la derivabilità in (0,0)?
L'impostazione giusta è quella, usando la definizione, naturalmente devi fare entrambe le derivate parziali.
Attenzione al punto in cui stai derivando,
Scusami, ma ti rispondo un po' di fretta, non posso ora trattenermi qui, non ho potuto guardare i calcoli.
Spero che qualcuno dia i dettagli.
Attenzione al punto in cui stai derivando,
Scusami, ma ti rispondo un po' di fretta, non posso ora trattenermi qui, non ho potuto guardare i calcoli.
Spero che qualcuno dia i dettagli.
"Ricx":
è così quindi che verifico la derivabilità in (0,0)?
Un post così, però, non fa venire voglia di rispondere. Una immagine sfocata e pure storta. Dovresti davvero usare le [formule][/formule] (clic per istruzioni).
Guarda Ricx, ha ragione dissonance. E' nel tuo interesse. Se vuoi continuare a servirti del Forum. Chi legge cose scritte a mano e pure storte fa fatica e caso mai ha difficoltà a rispondere.
Capisco che sei ai primi post, però quando rispondi a un messaggio guarda sotto, c'è scritto 'Aggiungi formula', clicca lì e vedrai che scrivere i messaggi in codice è abbastanza intuitivo. Nella pagina dell'indice del Forum in alto trovi le istruzioni per scrivere le formule. Per qualunque difficoltà ti aiutiamo.
Capisco che sei ai primi post, però quando rispondi a un messaggio guarda sotto, c'è scritto 'Aggiungi formula', clicca lì e vedrai che scrivere i messaggi in codice è abbastanza intuitivo. Nella pagina dell'indice del Forum in alto trovi le istruzioni per scrivere le formule. Per qualunque difficoltà ti aiutiamo.
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