Differenziabilità di funzioni di 2 variabili. Chiarimenti...
Ciao a tutti,
Ho le idee un pò confuse riguardo l'esistenza di derivate parziali e di differenziabilità...
- Se una funzione di due variabili NON è continua in un determinato punto allora non è nemmeno differenziabile in quel punto. E' giusto?
- Se una funziona di due variabili è continua in un determinato punto e le derivate parziali esistono e sono continue in quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto (per il teorema del differenziale totale). E' giusto?
- Se le derivate parziali invece non sono continue in quel punto allora devo calcolare il seguente limite, se è nullo allora la funzione è differenziabile in quel punto:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))(f(x,y)-f(x_0,y_0)-(grad f(x_0,y_0) | (x,y)-(x_0,y_0)))/||(x,y)-(x_0,y_0)||$
E' giusto?
La parte del limite dove c'è il gradiente, il simbolo "|" che rappresenta?
Quando calcolo le derivate parziali per esempio in $(0,0)$ io uso la procedura con i limiti e trovo il valore della derivata parziale in $(0,0)$. Poi per verificare se la derivata è continua o meno, devo calcolare la derivata generica di $f(x,y)$ e verificare se il limite per $(x,y)->(0,0)$ esista e valga il valore della derivata in $(0,0)$ che ho calcolato prima?
Credo di avere le idee un bel pò impicciate...!
Ho le idee un pò confuse riguardo l'esistenza di derivate parziali e di differenziabilità...
- Se una funzione di due variabili NON è continua in un determinato punto allora non è nemmeno differenziabile in quel punto. E' giusto?
- Se una funziona di due variabili è continua in un determinato punto e le derivate parziali esistono e sono continue in quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto (per il teorema del differenziale totale). E' giusto?
- Se le derivate parziali invece non sono continue in quel punto allora devo calcolare il seguente limite, se è nullo allora la funzione è differenziabile in quel punto:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))(f(x,y)-f(x_0,y_0)-(grad f(x_0,y_0) | (x,y)-(x_0,y_0)))/||(x,y)-(x_0,y_0)||$
E' giusto?
La parte del limite dove c'è il gradiente, il simbolo "|" che rappresenta?
Quando calcolo le derivate parziali per esempio in $(0,0)$ io uso la procedura con i limiti e trovo il valore della derivata parziale in $(0,0)$. Poi per verificare se la derivata è continua o meno, devo calcolare la derivata generica di $f(x,y)$ e verificare se il limite per $(x,y)->(0,0)$ esista e valga il valore della derivata in $(0,0)$ che ho calcolato prima?
Credo di avere le idee un bel pò impicciate...!
Risposte
"jollysa87":
Ciao a tutti,
Ho le idee un pò confuse riguardo l'esistenza di derivate parziali e di differenziabilità...
- Se una funzione di due variabili NON è continua in un determinato punto allora non è nemmeno differenziabile in quel punto. E' giusto?
Giusto!
"jollysa87":
- Se una funziona di due variabili è continua in un determinato punto e le derivate parziali esistono e sono continue in quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto (per il teorema del differenziale totale). E' giusto?
Giusto!
"jollysa87":
- Se le derivate parziali invece non sono continue in quel punto allora devo calcolare il seguente limite, se è nullo allora la funzione è differenziabile in quel punto:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))(f(x,y)-f(x_0,y_0)-(grad f(x_0,y_0) | (x,y)-(x_0,y_0)))/||(x,y)-(x_0,y_0)||$
E' giusto?
Giusto!
"jollysa87":
La parte del limite dove c'è il gradiente, il simbolo "|" che rappresenta?
L'espressione scritta da te, coincide con questa che ti riporto....che forse ti sarà di più semplice comprensione
$lim_(x,y->(0,0)) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
"jollysa87":
Quando calcolo le derivate parziali per esempio in $(0,0)$ io uso la procedura con i limiti e trovo il valore della derivata parziale in $(0,0)$. Poi per verificare se la derivata è continua o meno, devo calcolare la derivata generica di $f(x,y)$ e verificare se il limite per $(x,y)->(0,0)$ esista e valga il valore della derivata in $(0,0)$ che ho calcolato prima?
Si, la derivata parziale è continua se esiste il suo limite ed ammette lo stesso valore che essa ammette nel punto.
Ciao
Grazie mille! =D
ciao, io avrei ancora qualche perplessità riguarda alla continuità delle derivate parziali. Una volta che trovo il valore della derivata parziale rispetto a x e y nel punto (Xo , Yo), utilizzando il limite del rapporto incrementale, come faccio a verificare la loro continuità?
grazie per l'eventuale risposta
grazie per l'eventuale risposta
Per verificare la continuità delle derivate parziali, non si utilizza il rapporto incrementale, anche perchè utilizzando il rapporto incrementale una delle due variabili la devi fissare e quindi ci si muove solo lungo un asse...per verificare la continuità, entrambe le variabili devono essere libere...ciao!
Ragazzi volevo chiedervi una cosa...per stabilire se una funzione è differenziabile o meno peri il teorema del differenziale basta sapere se le derivate parziali sono continue...il mio problema sta nello stabilire se queste derivate...più in generale una funzione in due variabile è continua nel suo insieme di definizione...calcolare se è continua in un punto mi risulta semplice facendo semplicemente il limite...ma se voglio vedere se è continua in un insieme non mi posso fare tutti i limiti x ogni singolo elemento dell'insieme...cm devo fare??
Salve sono nuovo di questo forum,mi presento sono Salvio uno studente di ingegneria navale di napoli.Questo argomento mi sta tanto a cuore poichè anche io ci sto sbattendo con la testa.La mia prof ha spiegato correttamente la teoria sulla differenziabilità e mi trovo pienamente con quello che dice Jollysa87 e alexp, purtroppo per quanto riguarda gli esercizi la prof li ha un pò tralasciati o dedicato meno tempo di quanto ce ne voleva ed ora ad una settimana da una prova intercorso ho alcuni dubbi anche su funzioni di 2 variabili abbastanza banali.partiamo con $ sqrt(xy) $ definita nel 1° e 3° quadrante compreso assi.faccio le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y e mi ritrovo che le derivate parziali sono continue in $ (R-{0}) $ quindi la funzione è differenziabile in $ (R-{0}) $ .Per quanto riguarda il punto (0,0) vado a fare le derivate lungo gli assi e mi ritrovo $ lim_(x->0) ((f(x,0)-f(0,0))/(x-x_0))=0 $ e lo stesso vale per y $ lim_(y->0) ((f(0,y)-f(0,0))/(y-y_0))=0 $
Ma questo è sufficiente per dire che la funzione è differenziabile?non credo poichè noto che la professoressa ha svolto lo stesso esercizio continuando ma non riesco a capire il nesso logico delle cose che fa...vi elenco di seguito il suo svolgimento.
$ lim_((x,y)->(0,0)) ((f(x,y)-P(x,y))/(sqrt(x^2+y^2)))=(sqrt(xy))/(sqrt(x^2+y^2)) $ con P(x,y)=0
poi fa il limite per un x segnato che io chiamero $x_1 $ $ lim_(x->x_1)((f(x,0)-f(x_1,0))/(x-x_1))=0 $
e dopo procede con quest'altro limite $ lim_(y->0) ((f(x_1,y)-f(x_1,0))/(x-x_1))=(sqrt(x_1y)/(y)) $ e quindi conclude dicendo che la funzione non è differenziabile.spero mi possiate spiegare questi passaggi perchè non ci ho capito tanto.ringrazio anticipatamente
Ma questo è sufficiente per dire che la funzione è differenziabile?non credo poichè noto che la professoressa ha svolto lo stesso esercizio continuando ma non riesco a capire il nesso logico delle cose che fa...vi elenco di seguito il suo svolgimento.
$ lim_((x,y)->(0,0)) ((f(x,y)-P(x,y))/(sqrt(x^2+y^2)))=(sqrt(xy))/(sqrt(x^2+y^2)) $ con P(x,y)=0
poi fa il limite per un x segnato che io chiamero $x_1 $ $ lim_(x->x_1)((f(x,0)-f(x_1,0))/(x-x_1))=0 $
e dopo procede con quest'altro limite $ lim_(y->0) ((f(x_1,y)-f(x_1,0))/(x-x_1))=(sqrt(x_1y)/(y)) $ e quindi conclude dicendo che la funzione non è differenziabile.spero mi possiate spiegare questi passaggi perchè non ci ho capito tanto.ringrazio anticipatamente
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