Differenziabilità di funzioni a due variabili
Salve a tutti,
ho un fortissimo dubbio sul come si fa a capire se una funzione è differenziabile o meno in un intero insieme. Faccio un esempio:
$f(x,y)=|xy|$ che è definita e continua su tutto $\mathbb{R}^2$
dalla definizione provo a calcolarmi le derivate parziali nel generico $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$
$f'_x=y_0$, $f'_y=x_0$
poi l'incremento: $\Delta=xy-x_{0}y_0$ e il differenziale $df=y_0(x-x_0)+x_0(y-y_0)$
successivamente devo calcolarmi $\lim_{(x_0,y_0)} \frac{xy-xy_{0}+x_{0}y+x_0y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$ a questo punto mi blocco
ho un fortissimo dubbio sul come si fa a capire se una funzione è differenziabile o meno in un intero insieme. Faccio un esempio:
$f(x,y)=|xy|$ che è definita e continua su tutto $\mathbb{R}^2$
dalla definizione provo a calcolarmi le derivate parziali nel generico $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$
$f'_x=y_0$, $f'_y=x_0$
poi l'incremento: $\Delta=xy-x_{0}y_0$ e il differenziale $df=y_0(x-x_0)+x_0(y-y_0)$
successivamente devo calcolarmi $\lim_{(x_0,y_0)} \frac{xy-xy_{0}+x_{0}y+x_0y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$ a questo punto mi blocco
Risposte
Tu sei sicuro del valore delle derivate parziali in un generico punto $(x_0,y_0)$? A me non pare che quelle che hai scritto siano giuste.
Sì, mi sa che ho sbagliato...allora...
dovrebbe essere: $f'_x=|y|\frac{|x|}{x}$, $f'_y=|x|\frac{|y|}{y}$, giusto?
dovrebbe essere: $f'_x=|y|\frac{|x|}{x}$, $f'_y=|x|\frac{|y|}{y}$, giusto?
Sì, va già meglio. Ora riscrivi le cose che ti servono.
Allora...
$\Delta f=|xy|-|x_0y_0|$
$df=|x_0y_0|\frac{(x-x_0)}{x_0}-|x_0y_0|\frac{(y-y_0)}{y_0}$
il problema adesso è che non so come si procede in questi casi per calcolare il limite:
$\lim_(x_0y_0) \frac{|xy|-|x_0y_0|-|x_0y_0|\frac{(x-x_0)}{x_0}+|x_0y_0|\frac{(y-y_0)}{y_0}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$
nel senso che non so quale sia il modo migliore di manipolarla per ovviare alla f.i.
$\Delta f=|xy|-|x_0y_0|$
$df=|x_0y_0|\frac{(x-x_0)}{x_0}-|x_0y_0|\frac{(y-y_0)}{y_0}$
il problema adesso è che non so come si procede in questi casi per calcolare il limite:
$\lim_(x_0y_0) \frac{|xy|-|x_0y_0|-|x_0y_0|\frac{(x-x_0)}{x_0}+|x_0y_0|\frac{(y-y_0)}{y_0}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$
nel senso che non so quale sia il modo migliore di manipolarla per ovviare alla f.i.
Invece di cominciare subito col limite, comincia a chiederti in quali punti ci potrebbero essere problemi di differenziabilità...
Ad esempio, sai che il valore assoluto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] non è differenziabile in [tex]$0$[/tex], ma è differenziabile altrove con derivata continua; quindi per la tua funzione ci saranno probabilmente problemi addirittura di derivabilità se [tex]$x=0$[/tex] oppure [tex]$y=0$[/tex] (quindi sugli assi coordinati), ma non ce ne saranno fuori dagli assi.
Ad esempio, sai che il valore assoluto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] non è differenziabile in [tex]$0$[/tex], ma è differenziabile altrove con derivata continua; quindi per la tua funzione ci saranno probabilmente problemi addirittura di derivabilità se [tex]$x=0$[/tex] oppure [tex]$y=0$[/tex] (quindi sugli assi coordinati), ma non ce ne saranno fuori dagli assi.
In effetti io ho :
$f'_x$ definita e continua in $A={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\ne 0}$
$f'_y$ definita e continua in $B={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ y\ne 0}$
Mi suggerisci quindi di applicare il teorema basato sulla continuità delle derivate parziali?
$f'_x$ definita e continua in $A={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x\ne 0}$
$f'_y$ definita e continua in $B={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ y\ne 0}$
Mi suggerisci quindi di applicare il teorema basato sulla continuità delle derivate parziali?
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