Differenziabilità, derivabilità e continuità. Implicazioni reciproche.
Buonasera, mi sono appena reso conto di quanto sia pessimo il mio libro di Analisi II e quindi me la devo un po' cavare come posso con la teoria.
Ho fatto una scaletta di implicazioni tra la continuità, la derivabilità e la differenziabilità.
Potreste eventualmente correggerla o ampiarla e (se qualcuno ha voglia) aiutarmi con le dimostrazioni?
Sia $ phi $ : G -> $ R^n $
1. Se $ phi $ è differenziabile in x0, allora in un intorno di x0 esistono e sono uguali tutti i limiti dei rapporti incrementali, che è come dire che esistono e sono continue le derivate parziali (Teo Diff. Totale, questo lo so anche dimostrare)
2. Se esistono i limiti dei rapporti incrementali $ phi $, ma non sono uguali (cioè $ phi $ è derivabile in tutte le direzioni, ma non con lo stesso risultato) NON è detto che la funzione sia differenziabile (questo basta un controesempio, che francamente non ho capito, ma internet ne è pieno)
3. Se $ phi $ è differenziabile in xo, allora è continua in xo (questo non lo so dimostrare)
4. Se $ phi $ è continua in xo NON è detto che sia differenziabile (per questa basta un controesempio: sì, ma quale?)
5. Se $ phi $ NON è continua sicuramente non è differenziabile (di questa non ne sono sicuro)
6. Se $ phi $ è continua SE E SOLO SE è derivabile (di questa neanche ne sono sicuro.)
Che mi dite?
Grazie per la collaborazione.
Ho fatto una scaletta di implicazioni tra la continuità, la derivabilità e la differenziabilità.
Potreste eventualmente correggerla o ampiarla e (se qualcuno ha voglia) aiutarmi con le dimostrazioni?
Sia $ phi $ : G -> $ R^n $
1. Se $ phi $ è differenziabile in x0, allora in un intorno di x0 esistono e sono uguali tutti i limiti dei rapporti incrementali, che è come dire che esistono e sono continue le derivate parziali (Teo Diff. Totale, questo lo so anche dimostrare)
2. Se esistono i limiti dei rapporti incrementali $ phi $, ma non sono uguali (cioè $ phi $ è derivabile in tutte le direzioni, ma non con lo stesso risultato) NON è detto che la funzione sia differenziabile (questo basta un controesempio, che francamente non ho capito, ma internet ne è pieno)
3. Se $ phi $ è differenziabile in xo, allora è continua in xo (questo non lo so dimostrare)
4. Se $ phi $ è continua in xo NON è detto che sia differenziabile (per questa basta un controesempio: sì, ma quale?)
5. Se $ phi $ NON è continua sicuramente non è differenziabile (di questa non ne sono sicuro)
6. Se $ phi $ è continua SE E SOLO SE è derivabile (di questa neanche ne sono sicuro.)
Che mi dite?
Grazie per la collaborazione.
Risposte
"pollo93":
Buonasera, mi sono appena reso conto di quanto sia pessimo il mio libro di Analisi II e quindi me la devo un po' cavare come posso con la teoria.
Ho fatto una scaletta di implicazioni tra la continuità, la derivabilità e la differenziabilità.
Potreste eventualmente correggerla o ampiarla e (se qualcuno ha voglia) aiutarmi con le dimostrazioni?
Sia $ phi $ : G -> $ R^n $
1. Se $ phi $ è differenziabile in x0, allora in un intorno di x0 esistono e sono uguali tutti i limiti dei rapporti incrementali, che è come dire che esistono e sono continue le derivate parziali (Teo Diff. Totale, questo lo so anche dimostrare)
Bravo, io invece arranco un po': potresti spiegarmi bene?
2. Se esistono i limiti dei rapporti incrementali $ phi $, ma non sono uguali (cioè $ phi $ è derivabile in tutte le direzioni, ma non con lo stesso risultato) NON è detto che la funzione sia differenziabile (questo basta un controesempio, che francamente non ho capito, ma internet ne è pieno)
Postane qualcuno, quelli bravi hanno intenzione di fare una raccolta di controesempi
5. Se $ phi $ NON è continua sicuramente non è differenziabile (di questa non ne sono sicuro)
Io sì, questa la so: se non è continua sicuramente non è differenziabile.
Visto che su 1 e 2 sei a posto, rispondo rapidamente alle altre.
Prova a vedere la dimostrazione che si fa in Analisi 1; è sostanzialmente uguale.
Vale lo stesso controesempio che si fa ad Analisi 1: \(f(x) = |x|\).
E' la contronominale di 3.
Questa è ovviamente sbagliata, se assumiamo (come è) che 4 sia vera.
"pollo93":
Sia $ phi $ : G -> $ R^n $
3. Se $ phi $ è differenziabile in xo, allora è continua in xo (questo non lo so dimostrare)
Prova a vedere la dimostrazione che si fa in Analisi 1; è sostanzialmente uguale.
4. Se $ phi $ è continua in xo NON è detto che sia differenziabile (per questa basta un controesempio: sì, ma quale?)
Vale lo stesso controesempio che si fa ad Analisi 1: \(f(x) = |x|\).
5. Se $ phi $ NON è continua sicuramente non è differenziabile (di questa non ne sono sicuro)
E' la contronominale di 3.
6. Se $ phi $ è continua SE E SOLO SE è derivabile (di questa neanche ne sono sicuro.)
Questa è ovviamente sbagliata, se assumiamo (come è) che 4 sia vera.
Postane qualcuno, quelli bravi hanno intenzione di fare una raccolta di controesempi
$ f(x,y) = { ( (xy^2)/(x²+y²) larr (x,y) != (0,0) ),( 0 larr (x,y)= (0,0) ):} $
Per la differenziabilità tutte le derivate dovrebbe essere uguale a 0, mentre per un generico v=(v1,v2) hai che:
$ lim(t->0) (f(tv1,tv2)-f(0,0) ) / t = v1*v2 ^2 $
Quindi la derivata esista, ma la funzione non è differenziabile.
"Rigel":
[quote="pollo93"]6. Se $ phi $ è continua SE E SOLO SE è derivabile (di questa neanche ne sono sicuro.)
Questa è ovviamente sbagliata, se assumiamo (come è) che 4 sia vera.[/quote]
Giusto.
Se è continua non è detto che sia differenziabile (da 4), ma se non è differenziabile non è derivabile. Quindi il SE non va bene.
Allora è corretto:
$ phi $ è derivabile SE è continua.
Giusto?
L'implicazione corretta è
\(\varphi\) differenziabile \(\Longrightarrow\ \varphi\) continua.
Se per derivabilità intendi l'esistenza delle derivate parziali, allora questa condizione non implica niente (essendo legata alle direzioni).
In particolare, esistono funzioni (ti invito a cercare gli esempi):
- continue ma non derivabili parzialmente (quindi non differenziabili)
- derivabili parzialmente ma non continue
\(\varphi\) differenziabile \(\Longrightarrow\ \varphi\) continua.
Se per derivabilità intendi l'esistenza delle derivate parziali, allora questa condizione non implica niente (essendo legata alle direzioni).
In particolare, esistono funzioni (ti invito a cercare gli esempi):
- continue ma non derivabili parzialmente (quindi non differenziabili)
- derivabili parzialmente ma non continue
Ora è tutto chiaro.
Grazie a entrambi. Mi siete stati d'aiuto.
Grazie a entrambi. Mi siete stati d'aiuto.
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