Differenziabilità della funzione norma e della funzione comp

[kate-sweet]

sapete dirmi qualcosa riguardo la differenziablità della funzione norma fuori dall'origine e della funzione composta?

[ViciousGoblin]

Se la norma è quella euclidea, per intenderci $||x||=\sqrt{x_1^2+...+x_N^2}$, allora è differenziabile fuori dall'origine
per motivi elementari.

[gugo82]

Della norma se ne stava parlando qui.

Il teorema di derivazione delle funzioni composte, invece, lo trovi su ogni libro di Analisi.

[kate-sweet]

a me serve la differenziabilità,non la derivabilità...

[ViciousGoblin]

"katesweet9":a me serve la differenziabilità,non la derivabilità...

E allora ? Non ci sono i soliti teoremi?
Tipo: date due funzioni differenziabili allora la loro somma/prodotto/composizione ecc. (PURCHE' ABBIA SENSO)
è differenziabile.
Li dovresti trovare su un qualunque testo che affronti l'argomento. E trovi anche il collegamento tra derivabilità e differenziabilità.

[kate-sweet]

il libro non ce l'ho,perchè il professore ci ha fatto studiare dai suoi appunti...se l'avessi trovato non avrei chiesto qui...vabbeh grazie cmq.

[gugo82]

"katesweet9":il libro non ce l'ho,perchè il professore ci ha fatto studiare dai suoi appunti...se l'avessi trovato non avrei chiesto qui...vabbeh grazie cmq.

Non è che il professore vi ha fatto studiare, non credo che vi abbia puntato una pistola alla tempia per obbligarvi; al massimo "vi ha consigliato" i suoi appunti.
Tuttavia uno studente universitario deve anche saper reperire da sé le fonti o saper dimostarere da sé i teoremi, ché si suppone non sia più un ragazzino.

Ad ogni modo, come detto da VG, la composizione di funzioni differenziabili è differenziabile e di ciò mi sembra facile convincersi: prova.
In generale, se componi funzioni non differenziabili non puoi dire nulla sulle proprietà della composta.
Ad esempio se componi \(g(z):=\sin z\) (che è differenziabile in \(\mathbb{R}\)) con:
\[
f(x,y):=\begin{cases} 0 &\text{, se } x\neq 0 \text{ o } y\neq 0 \\ \pi &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
(che è differenziabile nei punti di \(\mathbb{R}^2\) che non appartengono agli assi) ottieni \(g\circ f (x,y) :=0\) che è differenziabile ovunque in \(\mathbb{R}^2\); oppure se componi \(h (z):= \cos z\) (differenziabile ovunque in \(\mathbb{R}\)) con la \(f(x,y)\) precedente ottieni:
\[
h\circ f(x,y):=\begin{cases} 1 &\text{, se } x\neq 0 \text{ o } y\neq 0 \\ -1 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
che ha le medesime proprietà di differenziabilità di \(f\) (ossia è differenziabile unicamente nei punti di \(\mathbb{R}^2\) che non appartengono agli assi).