Differenziabilità composta implica differenziabilità

[pietrooh2]

Buongiorno,
volevo chiedere se qualcuno fosse a conoscenza di qualche teorema che, data una funzione $f$, e una funzione $varphi$ soddisfacente alcune condizioni (penso per esempio che sia un diffeomorfismo) e supponendo la differenziabilità di $f \circ varphi$ implichi la differenziabilità di $f$.
Se qualcuno ha qualcosa da suggerire o qualche idea per favore contribuisca!

[gugo82]

Penso non si possa far nulla in proposito nel caso generale...
Ad esempio se prendi:
\[
\begin{split}
f(y) &:= \text{una qualsiasi funzione non derivabile in nessun punto} \\
\phi (x) &:= y_0 \qquad\text{(con } y_0 \in \operatorname{Dom} f \text{ fissato)}
\end{split}
\]
dalla composizione ottieni \(f\circ \phi (x) = f(y_0)\) che è indefinitamente differenziabile.

Quindi rimarrebbe da capire se il rafforzare le ipotesi su $phi$ possa dare qualche contributo.
Io credo di no, ma ci devo pensare.

[otta96]

Se prendi $\varphi$ un diffeomorfismo funziona perché allora $f=f \circ varphi \circ \varphi^(-1)= (f \circ varphi) \circ \varphi^(-1)$ e la composizione di differenziabili è differenziabile.
A ben vedere non servono tutte le proprietà che definiscono un diffeomorfismo, infatti è sufficiente che $\varphi$ sia invertibile con inversa differenziabile, in particolare non serve che sia differenziabile lei stessa.

[pietrooh2]

"gugo82":Penso non si possa far nulla in proposito nel caso generale...
Ad esempio se prendi:
\[ \begin{split} f(y) &:= \text{una qualsiasi funzione non derivabile in nessun punto} \\ \phi (x) &:= y_0 \qquad\text{(con } y_0 \in \operatorname{Dom} f \text{ fissato)} \end{split} \]
dalla composizione ottieni \( f\circ \phi (x) = f(y_0) \) che è indefinitamente differenziabile.

Avevo già letto qualcosa in proposito ed effettivamente hai ragione. Io però mi chiedevo se si potesse imporre qualche condizione sulla $varphi$ per poter dire qualcosa sulla regolarità della $f$.

"otta96":Se prendi $ \varphi $ un diffeomorfismo funziona perché allora $ f=f \circ varphi \circ \varphi^(-1)= (f \circ varphi) \circ \varphi^(-1) $ e la composizione di differenziabili è differenziabile.
A ben vedere non servono tutte le proprietà che definiscono un diffeomorfismo, infatti è sufficiente che $ \varphi $ sia invertibile con inversa differenziabile, in particolare non serve che sia differenziabile lei stessa.

Non ci avevo proprio pensato. Dopo aver postato mi sono accorto anch'io della possibile composizione con l'inversa. Oltre a quello che hai detto tu, credo basti che sia localmente invertibile con inversa differenziabile, qui fa molto comodo il teorema del diffemorfismo locale che risolve i problemi che volevo affrontare (cambio di coordinate).

Grazie a tutti per il contributo.

[vict85]

Seguendo il ragionamento di otta, direi che è necessaria la suriettività di \(\varphi\), ma non direi che è necessaria la iniettività.

La suriettività è necessaria perché senza non si potrebbe dire nulla al di fuori dell'immagine della funzione. In sostanza penso che sia sufficiente che la funzione abbia una inversa destra differenziabile.