Differenziabilità

[lex1531]

per provare la differenziabilità della funzione $f(x,y)=sqrt(|xy|)$ nel punto $(0,0)$ pongo

$lim_((h,k)rarr(0,0)) (f(h,k))/sqrt(h^2+k^2)$=$lim_((h,k)rarr(0,0)) sqrt(|hk|/(h^2+k^2))$

ora se questo limite esiste ed è =0 la funzione è differenziabile, ma il limite non esiste perchè se sostituisco $h=0;k=0$ mi viene $sqrt(0/0)$ che è indefinito, giusto? oppure c'è un altra spiegazione alla non esistenza di questo limite?

grassie!

[_prime_number]

Le forme indeterminate si studiano proprio per vedere se limiti del genere esistono o no e quanto valgono. Quindi fermarsi al punto $0/0$ non ha senso.
Riguardo al limite, non capisco perché imposti quel limite. Dovresti calcolare le derivate parziali e studiarne la continuità nell'origine.

Paola

[paolotesla91]

Si hai ragione prime. Oppure puoi notare che si può fare una maggiorazione della quantità che hai sotto radice, infatti avresti $sqrt(1/2)$ sotto il segno di limite.

[dissonance]

"paolotesla91":si può fare una maggiorazione della quantità che hai sotto radice, infatti avresti $sqrt(1/2)$ sotto il segno di limite.

???

[paolotesla91]

dissonance non è la stessa cosa che dire: $(|x||y|)/(x^2+y^2)<=1/2$ ?????

Tanto il fatto che sia sotto il segno di limite ci assicura che $(x,y)$ non sono mai uguali a zero. No?

[dissonance]

E vabbé ma che cosa concludi da quella disuguaglianza? Non capisco cosa vuoi dire

[paolotesla91]

Concludo che il limite è uguale a $(sqrt(2))/2$ e quindi la funzione non è differenziabile. Giusto?

[Plepp]

Ciao Paolo

"paolotesla91":Concludo che il limite è uguale a $(sqrt(2))/2$

E come lo concludi???

@Primenumber: ad occhio e croce, mi pare che le derivate parziali sono discontinue in quel punto, ma valgono entrambe $0$; inoltre $f(0,0)=0$, per cui mi sembra che calcolare il limite che sta calcolando lex sia la cosa giusta da fare (per verificare la differenziabilità di $f$), no?