Differenziabilità
dire se la seguente funzione è differenziabile in(0,0)
$ f(x,y)={ ( (x)^(1/3)e^(-x^(2)/y^(4) ) se y!=0),( 0 se y=0):} $
Allora f si dice differenziabile in (0,0) se
f è derivabile in (0,0) cioè se esistono le derivate parziali
vala la relazione di limite
$ lim_((h,k) -> (0,0))( f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy(x,y)k )/ sqrt(h^(2)+k^(2)) =0 $
quindi mi devo calcolare prima le derivate parziali
$ fx(x,y)= e^(-x^(2)/y^(4))((1/(3root(3)(x^2)) - (2root(3)(x) x)/y^4) $ se non ho sbagliato è questa e questa
$ fy(x,y)=(root(3)(x))e^(-x^(2)/y^(4))x^(2)4/y^(5) $
poi a questo punto devo sostituire a (x,y) (0,0) e poi faccio il limite??
grazie
$ f(x,y)={ ( (x)^(1/3)e^(-x^(2)/y^(4) ) se y!=0),( 0 se y=0):} $
Allora f si dice differenziabile in (0,0) se
f è derivabile in (0,0) cioè se esistono le derivate parziali
vala la relazione di limite
$ lim_((h,k) -> (0,0))( f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy(x,y)k )/ sqrt(h^(2)+k^(2)) =0 $
quindi mi devo calcolare prima le derivate parziali
$ fx(x,y)= e^(-x^(2)/y^(4))((1/(3root(3)(x^2)) - (2root(3)(x) x)/y^4) $ se non ho sbagliato è questa e questa
$ fy(x,y)=(root(3)(x))e^(-x^(2)/y^(4))x^(2)4/y^(5) $
poi a questo punto devo sostituire a (x,y) (0,0) e poi faccio il limite??
grazie
Risposte
Questa è una delle possibilità: per la condizione sufficiente se esistono le derivate parziali e sono continue allora la funzione è differenziabile nel punto.
Oppure puoi applicare direttamente la definizione di differenziabilità che potrebbe portare alla risoluzione di un limite più semplice
Oppure puoi applicare direttamente la definizione di differenziabilità che potrebbe portare alla risoluzione di un limite più semplice
Scusami ma non ho capito!
ciò che ha detto walter89 è che il teorema della differenziabilità totale afferma: se esistono le derivate parziali e sono continue allora la funzione è differenziabile nel punto. Tu invece hai detto che basta l' esistenza delle derivate parziali per la differenziabilità.
Ora, tornando ai tuoi calcoli: le derivate sono corrette. Poi devi mettere $(x,y) = (0,0)$ nelle derivate, ma come vedi, $y = 0$ dà problemi.
Allora ti conviene usare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale tenedo una variabile "ferma" e derivando rispetto all' altra.
$f_x = lim_(h -> 0) (f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0))/h$
Per la derivata in $y$: poni $x = 0$ come parametro, ottenendo: $f(x,y) = e^1$, la cui derivata rispetto ad $y$ vale $f_y = 0$.
Per la derivata in $x$: poni $y = 0$ come parametro, a questo punto come vedi, la funzione vale zero per $y = 0$, quindi: $f(x_0, y_0) = 0$, come pure $f(x_0 + h, y_0) = 0$ in quanto la variazione di $x$ avviene sempre lungo la retta $y = 0$.
Ora, tornando ai tuoi calcoli: le derivate sono corrette. Poi devi mettere $(x,y) = (0,0)$ nelle derivate, ma come vedi, $y = 0$ dà problemi.
Allora ti conviene usare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale tenedo una variabile "ferma" e derivando rispetto all' altra.
$f_x = lim_(h -> 0) (f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0))/h$
Per la derivata in $y$: poni $x = 0$ come parametro, ottenendo: $f(x,y) = e^1$, la cui derivata rispetto ad $y$ vale $f_y = 0$.
Per la derivata in $x$: poni $y = 0$ come parametro, a questo punto come vedi, la funzione vale zero per $y = 0$, quindi: $f(x_0, y_0) = 0$, come pure $f(x_0 + h, y_0) = 0$ in quanto la variazione di $x$ avviene sempre lungo la retta $y = 0$.
ok grazie mille 
su questo che mi bloccavo..sostituendo direttamente (0,0) mi dava qualche problema..e a questo punto le derivati parziali esistono e quindi basta vedere se esiste il limite e l'esercizio è finito!giusto?
su questo che mi bloccavo..sostituendo direttamente (0,0) mi dava qualche problema..e a questo punto le derivati parziali esistono e quindi basta vedere se esiste il limite e l'esercizio è finito!giusto?
"sapie":
ok grazie mille
esatto
grazie mille
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