Differenziabilità
Stabilire la differenziabilità di $f(x,y)=x^2-xy$ in $(2,2)$
Per risolvere l'esercizio ho usato la formula :
$lim_((x,y)->(0,0))(f(x-x_0,y-y_0)-f(x_0,y_0)-f'_x(x_0,y_0)*(x-x_0)-f'_y(x_0,y_0)*(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))$
Ho provato a risolvere il limite ponendo $y=y_0+m(x-x_0)$
Ma non riesco a risolvere il limite o meglio trovo sempre una forma indeterminata $0/0$ oppure una dipendenza da $m$
Per risolvere l'esercizio ho usato la formula :
$lim_((x,y)->(0,0))(f(x-x_0,y-y_0)-f(x_0,y_0)-f'_x(x_0,y_0)*(x-x_0)-f'_y(x_0,y_0)*(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))$
Ho provato a risolvere il limite ponendo $y=y_0+m(x-x_0)$
Ma non riesco a risolvere il limite o meglio trovo sempre una forma indeterminata $0/0$ oppure una dipendenza da $m$
Risposte
potresti provare a risolverlo con le cordinate polari. ti viene molto piu semplice!
"capo":
potresti provare a risolverlo con le cordinate polari. ti viene molto piu semplice!
Scusa potresti suggerirmi come si fa ? non l'ho mai risolto con le cordinate polari
devi fare il cambio di coordinate
x=ρcosΘ
y=ρsenΘ
e poi fai il limite per ρ->0 verificando che il risultato del limite sia 0 indipendentemente da Θ(cioè qualsiasi Θ il limite è sempre 0), se invece questo nn avviene il limite nn esiste e quindi nel tuo caso nn è differenziabile!
potrebbe sembrare piu laborioso, ma vedi ke è piu comodo xke per esempio al denominatore ti rimane solo ρ^2
x=ρcosΘ
y=ρsenΘ
e poi fai il limite per ρ->0 verificando che il risultato del limite sia 0 indipendentemente da Θ(cioè qualsiasi Θ il limite è sempre 0), se invece questo nn avviene il limite nn esiste e quindi nel tuo caso nn è differenziabile!
potrebbe sembrare piu laborioso, ma vedi ke è piu comodo xke per esempio al denominatore ti rimane solo ρ^2
"capo":
devi fare il cambio di coordinate
x=ρcosΘ
y=ρsenΘ
e poi fai il limite per ρ->0 verificando che il risultato del limite sia 0 indipendentemente da Θ(cioè qualsiasi Θ il limite è sempre 0), se invece questo nn avviene il limite nn esiste e quindi nel tuo caso nn è differenziabile!
Uè Capo
Però così non basta per dire che non sia continua. Dovrebbe poi dimostrarlo. Io ho trovato qualche inghippo
Forse fa prima a verificare se il $lim_(h->0,k->0)(2k-2h)/( (h^2+k^2)^(1/2))$ sia uguale a $0$ o meno.
Che ho derivato dall'applicazione della formula di differenziabilità nel punto $(2,2)$
scusa ma nn mi ero accorto che stavamo sudianto il punto (2,2) allora il cambio di coordinate sarà:
x=2+ρcosΘ
y=2+ρsenΘ
faximusy io so ke studiando una continuita o in questo caso la differnziabilita come hai fatto tu nn mi garantisce l'estitenza del limite per ogni traiettoria con cui mi avvicino al punto!
cmq io lo risolto è mi è venuta differenziabile in (2,2)!!!
x=2+ρcosΘ
y=2+ρsenΘ
faximusy io so ke studiando una continuita o in questo caso la differnziabilita come hai fatto tu nn mi garantisce l'estitenza del limite per ogni traiettoria con cui mi avvicino al punto!
cmq io lo risolto è mi è venuta differenziabile in (2,2)!!!
"capo":
scusa ma nn mi ero accorto che stavamo sudianto il punto (2,2) allora il cambio di coordinate sarà:
x=2+ρcosΘ
y=2+ρsenΘ
faximusy io so ke studiando una continuita o in questo caso la differnziabilita come hai fatto tu nn mi garantisce l'estitenza del limite per ogni traiettoria con cui mi avvicino al punto!
cmq io lo risolto è mi è venuta differenziabile in (2,2)!!!
Forse tu intendi la continuità; se non ho capito male l'obiettivo dell'esercizio è solo la differenziabilità.
Per la continuità va benissimo il tuo metodo, però qualora non uscisse continua non puoi concludere che non lo sia, ma lo devi dimostrare con altri metodi.
Il limite della differenziabilità è qualcosa di diverso dal limite per la continuità.
Tu hai dimostrato che è continua e poi concluso che è differenziabile? Non ho capito come hai proceduto
si io ho applicato il cambio di cordinate ed ho effettuato il limite per rho ke tende a zero ed ho dimostrato ke il limite è zero indipendentemente dall'angolo!!! la mia prof di analisi mi ha insegnato ke questo metodo mi da condizioni sufficenti per dire se la funzione è differenziabile o no!
"capo":
si io ho applicato il cambio di cordinate ed ho effettuato il limite per rho ke tende a zero ed ho dimostrato ke il limite è zero indipendentemente dall'angolo!!! la mia prof di analisi mi ha insegnato ke questo metodo mi da condizioni sufficenti per dire se la funzione è differenziabile o no!
Ma non è cosi
Questo metodo ti dà solo la condizione sufficiente affinchè sia continua, e necessaria affinchè sia differenziabile.
Ora però la differenziabilità la devi dimostrare
Puoi farlo con la formula posta da frenky, Provaci
"faximusy":
Puoi farlo con la formula posta da frenky, Provaci
Ok risolti gli equivoci, mi sono un po perso nei post, posso determinare la differenziabilità non usando quella formula ?
perchè così facendo nn riesco proprio a risolvere quel limite.
forse mi sono espresso male ma io il cambio di variabili lo faccio nella formula della differenziabilità(cioè quella postata da frenky)! e poi faccio il limite e verifico sia zero! io li ho sempre fatti cosi, poi se è sbagliato nn lo so,probabbile!!!
"capo":
forse mi sono espresso male ma io il cambio di variabili lo faccio nella formula della differenziabilità(cioè quella postata da frenky)! e poi faccio il limite e verifico sia zero! io li ho sempre fatti cosi, poi se è sbagliato nn lo so,probabbile!!!
Ah, scusami, avevo capito male!
Sinceramente però non so se sia possibile farlo, probabile
"frenky46":
[quote="faximusy"]Puoi farlo con la formula posta da frenky, Provaci
Ok risolti gli equivoci, mi sono un po perso nei post, posso determinare la differenziabilità non usando quella formula ?
perchè così facendo nn riesco proprio a risolvere quel limite.[/quote]
Scusa non so se avevi letto questo mio post perchè io e "capo" avevamo scritto contemporaneamente
"frenky46":
[quote="frenky46"][quote="faximusy"]Puoi farlo con la formula posta da frenky, Provaci
Ok risolti gli equivoci, mi sono un po perso nei post, posso determinare la differenziabilità non usando quella formula ?
perchè così facendo nn riesco proprio a risolvere quel limite.[/quote]
Scusa non so se avevi letto questo mio post perchè io e "capo" avevamo scritto contemporaneamente[/quote]
Infatti non l'avevo letta; comunque non credo si possa usare un'altra strada. Devi risolvere quel limite
Se fa $0$ è differenziabile.
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