Differenziabilità
Salve a tutti,
vi espongo il mio problema:
Sappiamo che una funzione in 2 variabili è differenziabile se
$\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{\Delta f-df}{\sqrt{h^2+k^2}}=0
Poichè non è cosa immediata vedere se la funzione che ne viene fuori tende effettivamente a zero si cercadi maggiorare la funzione con un'altra che tende a zero( e quindi considerarla compresa fra quest'altra funzione e zero) e concludere che converge anche essa a zero per il teorema dei due carabinieri.
Se riusciamo a trovare questa funzione maggiorante il gioco è fatto.
Ma se invece la funzione non è differenziabile in un certo punto e quindi non riusciamo a fare questo gioco, dopo aver fatto 1000 tentavivi come posso concludere con certezza che il limite che cerco non tende a zero?
Potrei avere fatto anche 2000 tentativi ma non aver beccato il metodo giusto...
Per rendere anche meglio l'idea propongo un esercizio che sto svolgendo:
Arrivo a questo limite
$\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{hk^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}
So già dai risultati che non tende a zero e che quindi la funzione di partenza non è differenziabile, però se mi poteste dare una mano a capire come ci si arriva vi sarei grato.
Grazie
vi espongo il mio problema:
Sappiamo che una funzione in 2 variabili è differenziabile se
$\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{\Delta f-df}{\sqrt{h^2+k^2}}=0
Poichè non è cosa immediata vedere se la funzione che ne viene fuori tende effettivamente a zero si cercadi maggiorare la funzione con un'altra che tende a zero( e quindi considerarla compresa fra quest'altra funzione e zero) e concludere che converge anche essa a zero per il teorema dei due carabinieri.
Se riusciamo a trovare questa funzione maggiorante il gioco è fatto.
Ma se invece la funzione non è differenziabile in un certo punto e quindi non riusciamo a fare questo gioco, dopo aver fatto 1000 tentavivi come posso concludere con certezza che il limite che cerco non tende a zero?
Potrei avere fatto anche 2000 tentativi ma non aver beccato il metodo giusto...
Per rendere anche meglio l'idea propongo un esercizio che sto svolgendo:
Arrivo a questo limite
$\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{hk^2}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}
So già dai risultati che non tende a zero e che quindi la funzione di partenza non è differenziabile, però se mi poteste dare una mano a capire come ci si arriva vi sarei grato.
Grazie
Risposte
[mod="dissonance"]Ciao, robbyx, vedo che sei nuovo. Ti ringrazio per aver imparato subito la sintassi corretta per scrivere le formule. Ti segnalo solo che non è gradito l'uso del maiuscolo, che equivale all'urlare. Per questo ho modificato il titolo del topic (era "DIFFERENZIABILITA'").[/mod]
Ah ok! Mi scuso subito e grazie per la segnalazione! 
Per dimostrare che tende a zero, come hai detto tu, devi trovare (tipicamente) una maggiorazione con qualcosa che tende a zero.
Per dimostrare che non tende a zero devi trovare una successione di punti su cui la cosa che hai scritto non tende a zero
Ora ammesso che cio' che hai sia l'ultima cosa che hai scritto (che quindi non deve essere il risultato di una maggiorazione) basta che prendi
la successione $(k,k)$ (con le due componenti eguali) per $k\to0$.
Trovi allora $\frac{k^3}{2k^2\sqrt{2k^2}}\to\frac{1}{2\sqrt{2}}\ne0$
Per dimostrare che non tende a zero devi trovare una successione di punti su cui la cosa che hai scritto non tende a zero
Ora ammesso che cio' che hai sia l'ultima cosa che hai scritto (che quindi non deve essere il risultato di una maggiorazione) basta che prendi
la successione $(k,k)$ (con le due componenti eguali) per $k\to0$.
Trovi allora $\frac{k^3}{2k^2\sqrt{2k^2}}\to\frac{1}{2\sqrt{2}}\ne0$
Ti ringrazio intanto per la tempestività con cui hai risposto e per la disponibilità!
Ho riflettuto su quello che hai scritto e penso di aver capito il discorso in questo modo:
In pratica, col procedimento che hai fatto, sto assumendo che che la funzione che ottengo (applicando la definizione di differenziabilità) tenda a zero con la stessa velocità sia rispetto all'asse x che all'ase y. E quindi sto assumendo che se la funzione non tende a zero nel caso particolare più banale(appunto x e y tendono a zero con la stessa velocità) allora non vi può mai tendere in generale. E' giusta come interpretazione?
Ho riflettuto su quello che hai scritto e penso di aver capito il discorso in questo modo:
In pratica, col procedimento che hai fatto, sto assumendo che che la funzione che ottengo (applicando la definizione di differenziabilità) tenda a zero con la stessa velocità sia rispetto all'asse x che all'ase y. E quindi sto assumendo che se la funzione non tende a zero nel caso particolare più banale(appunto x e y tendono a zero con la stessa velocità) allora non vi può mai tendere in generale. E' giusta come interpretazione?
Non sono sicuro di capire quello che vuoi dire. Il discorso e' che la differenziabilita' corrisponde al fatto che il limite di una certa funzione $F(x,y)$ e' zero.
Ora dire che $F(x,y)\to 0$ per $(x,y)\to(0,0)$ significa che $F(x,y)$ tende a zero "in qualunque modo $(x,y)$ tenda a zero". Per esempio deve essere
$F(x,0)\to0$ e $F(0,y)\to0$ (sugli assi) $F(x,x)\to0$ e $F(x,-x)\to0$ (sulle diagonali), ma anche $F(x^2,x)\to0$ e cosi' via.
Questo tipo di argomentazione puo' essere utile (come nell'esempio di prima) per dire che il limite non esiste, per provare che esiste bisogna controllare
tutti i modi in cui $(x,y)$ puo' tendere a zero e quindi serve tipicamente una maggiorazione.
Non so se ho risposto●●●●●
Ora dire che $F(x,y)\to 0$ per $(x,y)\to(0,0)$ significa che $F(x,y)$ tende a zero "in qualunque modo $(x,y)$ tenda a zero". Per esempio deve essere
$F(x,0)\to0$ e $F(0,y)\to0$ (sugli assi) $F(x,x)\to0$ e $F(x,-x)\to0$ (sulle diagonali), ma anche $F(x^2,x)\to0$ e cosi' via.
Questo tipo di argomentazione puo' essere utile (come nell'esempio di prima) per dire che il limite non esiste, per provare che esiste bisogna controllare
tutti i modi in cui $(x,y)$ puo' tendere a zero e quindi serve tipicamente una maggiorazione.
Non so se ho risposto●●●●●
Ah ok! sisi ora ho capito perfettamente! Mi ero leggermente confuso poco fa perchè avevi parlato in termini di successioni e sono entrato un po' in panico 
Ora ho capito perfettamente sei stato chiarissimo! Ti ringrazio infinitamente!
Ora ho capito perfettamente sei stato chiarissimo! Ti ringrazio infinitamente!
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