Differenziabilita'

[nictosi]

Salve..ho qualche problema a capire quando una funz di 2 variabili e' differenziabile. Per esempio:
--
|(y^2)*senx
|----------- + 5x con (x,y) diversi da (0,0)
|x^2 + y^2
|
|
|0 con (x,y) = (0,0)
--

Basta calcolare le derivate parziali e vedere se coincidono con zero, cioe' la derivata di zero(inteso come valore della funzione in (0,0))?

[Sk_Anonymous]

Una volta calcolate le derivate parziali, devi controllare che effettivamente f sia differenziabile, usando la definizione di differenziale.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Marvin1]

[71104]

anche io sono interessato al problema; in particolare volevo sapere quali implicazioni ha il fatto che una funzione di più variabili (diciamo due) non sia differenziabile in un certo punto: se non lo è, è ancora possibile calcolarne la derivata direzionale in quel punto rispetto a una certa direzione? se si, vale sempre la formula fx*vx + fy*vy, con fx ed fy derivate prime parziali e vx e vy componenti del vettore direzione di modulo unitario?

[Marco831]

La non difefrenziabilità non è di per se una condizione che implica la non derivabilità (mentre è vero il contrario; vedi teorema del differenziale totale).
Non vorrei dire una bestialità, ma dovrebbe valere anche la formula da te postata in quanto per ciò che mi ricordo è conseguenza solo del teorema di Schwarz, che richiede la derivabilità e non la differenziabilità. Comunque questa seconda affermazione prendila con le pinze...

[david_e1]

No guarda che il teorema di Schwarz richiede che le derivate seconde siano tutte continue! Ma questa e' una condizione sufficiente alla differenziabilita'. Quindi non vale, in generale, la formula del gradiente. (potrebbe pero' capitare che la formula sia comunque verificata nel punto P_0 anche se la funzione non e' diff.)

Per calcolare la derivata direzionale bisogna restringere la funzione alla retta passante per il punto dove si vuole calcolare la derivata e diretta come la direzione di interesse. A questo punto si deriva la funzione risultante.

Per restringere la funzione e' sufficiente porre:

(x,y) = v t

Dove v e' il vettore direzione e t una variabile reale; poi si sostituisce nella f che diventa una funzione di una sola variabile (t).

[71104]

quindi in parole povere, se data una certa funzione di due variabili mi viene richiesto di calcolare la derivata direzionale in un certo punto P(x0,y0) rispetto a una certa direzione, io procedo così:

- studio la differenziabilità in quel punto facendo il

               f(x,y) - f(x0,y0) - a*(x - x0) - b*(y - y0)
    lim        -------------------------------------------
(x,y)->(x0,y0)      radice((x - x0)^2 + (y - y0)^2)

con a = df/dx calcolata in x0, y0
e b = df/dy calcolata sempre in x0,y0


- se quel limite viene 0 allora uso il metodo del gradiente, cioè ottengo la derivata direzionale facendo

fx*vx + fy*vy

come detto prima vx e vy sono le componenti del vettore normalizzato (cioè di modulo unitario) che mi indica la direzione, mentre ovviamente fx e fy sono le derivate prime parziali calcolate sempre in (x0,y0)


- se invece il limite veniva diverso da 0 (cioè la funzione *non era* differenziabile nel punto (x0,y0)) allora procedo col metodo della retta che individua la direzione data:

y = mx + q

f(x, y) = f(x, mx + q)

poi faccio la derivata prima di f rispetto a x e la calcolo sempre nel punto (x0,y0).

è giusto tutto questo?

[david_e1]

Si.

[71104]

perfetto; ma se per caso la direzione che mi viene data è una retta verticale? O.o'
cioè se mi viene richiesto di calcolare la derivata direzionale in (0,0) rispetto alla direzione (0,1) e la funzione non è differenziabile???

[david_e1]

Beh e' per questo che io ti ho dato la definizione piu' generica per fare la restrizione:

(x,y) = v t

Se P_0 != (0,0) si pone:

(x,y) = v t + P_0

Ad esempio nel caso citato da te si pone:

(x,y) = (0,1) t = (0,t)

Ovvero si sostituisce al posto di x 0 e al posto di y t. A questo punto f e' funzione di 1 variabile e basta derivarla nel modo classico.

Questo modo di ricordarsi la formula (usando i vettori invece dell'equazione della retta) ha il vantaggio che nel caso di funzioni di 3 o piu' variabili la formula non cambia. Invece usando la tua formula bisogna poi scrivere l'equazione della retta in 3 o piu' dimensioni che e' molto piu' lungo.

[leev]

Una domanda sul differenziale:
il differenziale df(a): IR^n -> IR non è forzatamente continuo, giusto?

(Perché avevo questa idea, però pensando al legame con le derivate parziali le quali non son sempre continue....)

LeeV

[71104]

ah giusto, praticamente bisogna trasformare la funzione ponendo x=x0, non ci avevo pensato... senza contare che se il punto P è l'origine e la retta è verticale (vista dall'alto) allora la derivata direzionale calcolata in questo modo corrisponde, anche graficamente, alla derivata prima parziale rispetto a y

solo una cosa però non capisco a questo punto: a che serve il metodo del gradiente (fx*vx + fy*vy) se poi si può comunque usare quello della retta generica? usando quello della retta uno si risparmia lo studio della differenziabilità...

[david_e1]

Il metodo del gradiente e' molto utile per questi motivi:

1. A volte bisogna calcolare molte derivate direzionali.

2. Molto spesso si riconosce ad "occhio" che si e' di fronte a funzioni differenziabili e quindi non e' necessario fare uno studio vero e proprio.

3. Grazie a questa formula si dimostra che il gradiente e' la direzione di massima crescita della funzione: questo e' un risultato molto utile, ad esempio il metodo del gradiente (un metodo numerico per risolvere i sistemi molto usato) si basa su questa considerazione.

[71104]

mumble mumble... capisco...
quindi è solo un discorso di convenienza (spesso *grossa* convenienza) rispetto al metodo della retta generica, che in realtà si potrebbe usare sempre...