Differenziabilità
Ciao ragazzi, non riesco a capire se l'esercizio da me risolto è giusto. Devo studiare la differenziabilità nell'origine di questa funzione $ abs(tg(xy))^2 $. Io l'ho svolta nel seguente modo:
pongo y=mx
$tg^2(x^2m)$
$lim_(x->0) tg^2(x^2m)=0$ quindi è differenziabile
dopo di che trovo il piano tangente:
$f(x_(0),y_(0))=tg^2(0)=0$
$d/dx f(x_(0),y_(0))=0 $
$d/dy f(x_(0),y_(0))=0 $
quindi z=0
Non sono molto convinto del mio risultato probabilmente ho sbagliato qualcosa, sapreste darmi un consiglio? Grazie anticipatamente
pongo y=mx
$tg^2(x^2m)$
$lim_(x->0) tg^2(x^2m)=0$ quindi è differenziabile
dopo di che trovo il piano tangente:
$f(x_(0),y_(0))=tg^2(0)=0$
$d/dx f(x_(0),y_(0))=0 $
$d/dy f(x_(0),y_(0))=0 $
quindi z=0
Non sono molto convinto del mio risultato probabilmente ho sbagliato qualcosa, sapreste darmi un consiglio? Grazie anticipatamente
Risposte
Come direbbe il defunto Cauchy, il risultato è giusto ma la dimostrazione è sbagliata.
con il primo limite tu non puoi assolutamente concludere che la funzione sia differenziabile... ne tantomeno che sia continua.
il modo a mio avviso più semplice è quello di calcolare le derivare parziali e verificare che queste siano funzioni continue in un intorno dell'origine, infatti esiste un teorema che afferma che se tutte le derivate parziali esistono in un punto $x_0$ e almeno tutte tranne una sono continue in un intorno di quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.
quindi calcola le derivate parziali, verifica che queste esistono nell'origine e poi dimostra che almeno una delle due derivate parziali è continua nell'origine, con questo dimostri la differenziabilità.
inoltre è sbagliato anche come vorresti trovare il piano tangente... per il tuo ragionamento qualunque funzione ha tutte le derivate nulle in tutti i suoi punti.
tu non puoi valutare la funzione in un punto vedere che in quel punto vale un certo numero (zero nel tuo caso) e poi fare la derivata di quel numero... è ovvio che la derivata di una costante è nulla... e tutte le funzioni se valutate in un punto valgono un numero ... quindi per il tuo ragionamento tutte le funzioni hanno sempre e comunque tutte le derivate nulle...
tu prima devi derivare la funzione generica $tg^2(xy)$ e poi devi valutare in zero la derivata.
con il primo limite tu non puoi assolutamente concludere che la funzione sia differenziabile... ne tantomeno che sia continua.
il modo a mio avviso più semplice è quello di calcolare le derivare parziali e verificare che queste siano funzioni continue in un intorno dell'origine, infatti esiste un teorema che afferma che se tutte le derivate parziali esistono in un punto $x_0$ e almeno tutte tranne una sono continue in un intorno di quel punto allora la funzione è differenziabile in quel punto.
quindi calcola le derivate parziali, verifica che queste esistono nell'origine e poi dimostra che almeno una delle due derivate parziali è continua nell'origine, con questo dimostri la differenziabilità.
inoltre è sbagliato anche come vorresti trovare il piano tangente... per il tuo ragionamento qualunque funzione ha tutte le derivate nulle in tutti i suoi punti.
tu non puoi valutare la funzione in un punto vedere che in quel punto vale un certo numero (zero nel tuo caso) e poi fare la derivata di quel numero... è ovvio che la derivata di una costante è nulla... e tutte le funzioni se valutate in un punto valgono un numero ... quindi per il tuo ragionamento tutte le funzioni hanno sempre e comunque tutte le derivate nulle...
tu prima devi derivare la funzione generica $tg^2(xy)$ e poi devi valutare in zero la derivata.
Ciao posso chiederti di farmi vedere un esempio e/o se possibile anche la spiegazione di questo metodo, va bene anche un link preso in rete, te ne sarei molto grato.
Ma non è "un metodo" è un teorema fondamentale dell'analisi 2.
Comunque nulla di più semplice, prendiamo appunto la funzione $\tan^2(xy)$ allora per il teorema di continuità della funzione composta abbiamo che la funzione è continua su tutto il suo dominio ovvero su ${ (x,y)\in R^2 : xy \ne \frac{\pi}{2} + k\pi , k\in Z} $ questo perché $f(x,y)=g(h(x,y))=\tan^2(xy)$ dove $g(r)=\tan^2(r)$ e $h(x,y)=xy$ e sia $g$ che $h$ sono evidentemente funzioni continue sul loro dominio, e così senza conti hai dimostrato la continuità.
Ora calcoliamo le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ ora la funzione è simmetrica rispetto al piano bisettore nel senso che se cambio la $x$ con la $y$ la funzione è la stessa, quindi le derivate parziali saranno formalmente identiche, calcoliamole con le regole del calcolo:
$$
f_x= 2\tan(xy)(1+\tan^2(xy))y
\\
f_y= 2\tan(xy)(1+\tan^2(xy))x
$$
queste derivate, sempre per il teorema di continuità della funzione composta sono a loro volta funzioni continue nell'origine, poiché composizione di funzioni continue nell'origine, ora poiché le derivate parziali sono continue nell'origine per il teorema di differenziabilità delle funzioni di classe $C^1$ allora la funzione è differenziabile nell'origine (ed in realtà è differenziabile su tutto il suo dominio), fine.
Comunque nulla di più semplice, prendiamo appunto la funzione $\tan^2(xy)$ allora per il teorema di continuità della funzione composta abbiamo che la funzione è continua su tutto il suo dominio ovvero su ${ (x,y)\in R^2 : xy \ne \frac{\pi}{2} + k\pi , k\in Z} $ questo perché $f(x,y)=g(h(x,y))=\tan^2(xy)$ dove $g(r)=\tan^2(r)$ e $h(x,y)=xy$ e sia $g$ che $h$ sono evidentemente funzioni continue sul loro dominio, e così senza conti hai dimostrato la continuità.
Ora calcoliamo le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ ora la funzione è simmetrica rispetto al piano bisettore nel senso che se cambio la $x$ con la $y$ la funzione è la stessa, quindi le derivate parziali saranno formalmente identiche, calcoliamole con le regole del calcolo:
$$
f_x= 2\tan(xy)(1+\tan^2(xy))y
\\
f_y= 2\tan(xy)(1+\tan^2(xy))x
$$
queste derivate, sempre per il teorema di continuità della funzione composta sono a loro volta funzioni continue nell'origine, poiché composizione di funzioni continue nell'origine, ora poiché le derivate parziali sono continue nell'origine per il teorema di differenziabilità delle funzioni di classe $C^1$ allora la funzione è differenziabile nell'origine (ed in realtà è differenziabile su tutto il suo dominio), fine.
Ti ringrazio per la pazienza che mi stai dando, ma un' altra piccola domanda spero che me la concedi... data questa tua affermazione:
"Ora calcoliamo le derivate parziali $fx$ e $fy$ ora la funzione è simmetrica rispetto al piano bisettore nel senso che se cambio la $x$ con la $y$ la funzione è la stessa, quindi le derivate parziali saranno formalmente identiche".
Nel caso in cui le derivate parziali non sono identiche la funzione non è differenziabile?
"Ora calcoliamo le derivate parziali $fx$ e $fy$ ora la funzione è simmetrica rispetto al piano bisettore nel senso che se cambio la $x$ con la $y$ la funzione è la stessa, quindi le derivate parziali saranno formalmente identiche".
Nel caso in cui le derivate parziali non sono identiche la funzione non è differenziabile?
no non cambia assolutamente niente, la mia osservazione era solo per dire che era veloce fare i conti, una volta calcolata una si poteva subito sapere quanto valeva l'altra...
il teorema dice che se esistono in $x_0$ e sono continue in $x_0$ tutte le derivate parziali di $f$ allora la funzione è differenziabile in $x_0$. fine
il teorema dice che se esistono in $x_0$ e sono continue in $x_0$ tutte le derivate parziali di $f$ allora la funzione è differenziabile in $x_0$. fine
Ok grazie mille 
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