Differenze tra tende uniformemente a 0 e tende a 0
sto studiando analisi complessa, riporto la definizione del libro
Diremo che una funzione $g(z)$ continua nella regioneD spazzata dall'arco di cerchio $\gamma$ in questo limite tende a zero uniformemente rispetto all'argomento di $z$ per $r=|z|$che tende a zero o a infinito,se esiste una costante $u$ che dipende solo da $r$ tale che
$|g(z)|<=u$ poi il libro fa questo esempio
la funzione $g(z)=z/(z^2+1)$ tende a zero uniformemente per $r$ che tende a zero o a infinito poichè $|g(z)|<=r/(|r^2-1|)$ ma quindi che differenze ci sono tra tende uniformemente a zero e tende a zero?questa funzione infatti se consideriamo i limiti tende a zero per $z$ che tende a zero e tende a zero
per $z$ che tende a infininito. io purtoppo non noto differenze che invece sicuramente ci sono.
Ciao e grazie
Diremo che una funzione $g(z)$ continua nella regioneD spazzata dall'arco di cerchio $\gamma$ in questo limite tende a zero uniformemente rispetto all'argomento di $z$ per $r=|z|$che tende a zero o a infinito,se esiste una costante $u$ che dipende solo da $r$ tale che
$|g(z)|<=u$ poi il libro fa questo esempio
la funzione $g(z)=z/(z^2+1)$ tende a zero uniformemente per $r$ che tende a zero o a infinito poichè $|g(z)|<=r/(|r^2-1|)$ ma quindi che differenze ci sono tra tende uniformemente a zero e tende a zero?questa funzione infatti se consideriamo i limiti tende a zero per $z$ che tende a zero e tende a zero
per $z$ che tende a infininito. io purtoppo non noto differenze che invece sicuramente ci sono.
Ciao e grazie
Risposte
Innanzitutto la definizione è sbagliata.
Quella che dai è la definizione di uniforme limitatezza, al massimo.
Come sai ogni funzione complessa [tex]$g(z)$[/tex] si può rappresentare nella forma [tex]$g(r,\theta)$[/tex] con [tex]$(r,\theta)=(|z|,\text{Arg} z)$[/tex], sicché essa è equiparabile ad una funzione di due variabili reali.
Dere che [tex]$g(z)\to L$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$\text{Arg} z$[/tex] per [tex]$|z|\to R$[/tex] significa dire che [tex]$\lim_{r\to R} g(r,\theta) =L$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$\theta$[/tex], ossia che:
[tex]$\lim_{r\to R} \sup_{\theta \in T} |g(r,\theta) -L|=0$[/tex],
in cui l'estremo superiore è preso in un appropriato sottoinsieme [tex]$T$[/tex] di [tex]$[0,2\pi[$[/tex], ovvero che:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall 0<|r-R|<\delta ,\ \forall \theta \in T,\ |g(r,\theta) -L|<\epsilon$[/tex].
Ora, per quanto riguarda l'esempio che hai postato, abbiamo:
[tex]$|g(z)| \to 0$[/tex]
e però il limite è uniforme rispetto all'argomento; infatti:
[tex]$|g(z)|=\left| \frac{r\ e^{\imath \theta}}{r^2\ e^{\imath 2\theta} -1}\right| $[/tex]
[tex]$=\frac{r}{|r^2\ e^{\imath 2\theta}-1|}$[/tex] (ricordando che [tex]$\Big| |u|-|v| \Big| \leq |u-v|$[/tex])
[tex]$\leq \frac{r}{|r^2-1|}$[/tex]
[tex]$=\frac{r}{(r+1)\ |r-1|}$[/tex]
[tex]$\leq \frac{r}{|r-1|}$[/tex]
quindi:
[tex]$\sup_{\theta \in T} |g(r,\theta)-0|\leq \frac{r}{|r-1|}$[/tex]
e perciò:
[tex]$0\leq \lim_{r\to 0} \sup_\theta |g(r,\theta)-0|\leq \lim_{r\to 0} \frac{r}{|r-1|} =0$[/tex]
ossia [tex]$g(z)\to 0$[/tex] per [tex]$|z|\to 0$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$\text{Arg} z$[/tex].
Quella che dai è la definizione di uniforme limitatezza, al massimo.
Come sai ogni funzione complessa [tex]$g(z)$[/tex] si può rappresentare nella forma [tex]$g(r,\theta)$[/tex] con [tex]$(r,\theta)=(|z|,\text{Arg} z)$[/tex], sicché essa è equiparabile ad una funzione di due variabili reali.
Dere che [tex]$g(z)\to L$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$\text{Arg} z$[/tex] per [tex]$|z|\to R$[/tex] significa dire che [tex]$\lim_{r\to R} g(r,\theta) =L$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$\theta$[/tex], ossia che:
[tex]$\lim_{r\to R} \sup_{\theta \in T} |g(r,\theta) -L|=0$[/tex],
in cui l'estremo superiore è preso in un appropriato sottoinsieme [tex]$T$[/tex] di [tex]$[0,2\pi[$[/tex], ovvero che:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\quad \forall 0<|r-R|<\delta ,\ \forall \theta \in T,\ |g(r,\theta) -L|<\epsilon$[/tex].
Ora, per quanto riguarda l'esempio che hai postato, abbiamo:
[tex]$|g(z)| \to 0$[/tex]
e però il limite è uniforme rispetto all'argomento; infatti:
[tex]$|g(z)|=\left| \frac{r\ e^{\imath \theta}}{r^2\ e^{\imath 2\theta} -1}\right| $[/tex]
[tex]$=\frac{r}{|r^2\ e^{\imath 2\theta}-1|}$[/tex] (ricordando che [tex]$\Big| |u|-|v| \Big| \leq |u-v|$[/tex])
[tex]$\leq \frac{r}{|r^2-1|}$[/tex]
[tex]$=\frac{r}{(r+1)\ |r-1|}$[/tex]
[tex]$\leq \frac{r}{|r-1|}$[/tex]
quindi:
[tex]$\sup_{\theta \in T} |g(r,\theta)-0|\leq \frac{r}{|r-1|}$[/tex]
e perciò:
[tex]$0\leq \lim_{r\to 0} \sup_\theta |g(r,\theta)-0|\leq \lim_{r\to 0} \frac{r}{|r-1|} =0$[/tex]
ossia [tex]$g(z)\to 0$[/tex] per [tex]$|z|\to 0$[/tex] uniformemente rispetto a [tex]$\text{Arg} z$[/tex].
Precisissimo come sempre! grazie
potrebbe capitare che una funzione tende a zero ed al contempo non tende a zero uniformemente?
potrebbe capitare che una funzione tende a zero ed al contempo non tende a zero uniformemente?
up
Intanto a tendere a zero è una successione di funzioni, non una funzione sola. Comunque la risposta alla tua domanda è si. Prendi la successione di funzioni $f_n(x)=x/n$. Disegnane qualcuna e ti accorgi facilmente che $f_n(x)-> 0$ ma la convergenza non è uniforme su tutto $RR$ (lo è se ti restringi ad un intervallo limitato, però).
"baldo89":
Precisissimo come sempre! grazie
potrebbe capitare che una funzione tende a zero ed al contempo non tende a zero uniformemente?
Sì, può capitare.
Pensa ad una funzione di due variabili [tex]$g(r,\theta)$[/tex] che non tende a zero uniformemente per [tex]$r\to 0$[/tex] e poi sostituisci [tex]$r=|z|$[/tex] e [tex]$\theta =\text{Arg} z$[/tex] per ottenere la tua [tex]$g(z)$[/tex].
Ad esempio [tex]$g(r,\theta)=\frac{r}{\theta}$[/tex] thende a zero quando [tex]$r\to 0^+$[/tex] per ogni fissato [tex]$\theta \in ]0,2\pi[$[/tex]; però si ha:
[tex]$\forall r>0,\quad \sup_{\theta \in ]0,2\pi[} |g(r,\theta)|=+\infty$[/tex]
e la convergenza non può essere uniforme rispetto a [tex]$\theta$[/tex].
La funzione [tex]$g(z)$[/tex] corrispondente a [tex]$g(r,\theta)$[/tex] è evidentemente:
[tex]$g(z)=\frac{|z|}{\text{Arg} z}$[/tex]
la quale è definita in tutto il piano privato del semiasse reale nonnegativo (i.e. [tex]$\mathbb{C}\setminus \{z\in \mathbb{C}:\ \text{$\Re e z\geq 0$ e $\Im m z=0$}\}$[/tex])...
Oppure, volendo fare le cose più belle, si può prendere [tex]$g(z):=\frac{|z|}{\arg z}$[/tex], che è polidroma, ha la determinazione principale definita nel piano complesso privato del semiasse reale nonnegativo e tutte le altre determinazioni definite in tutto il piano meno l'origine.
Ovviamente [tex]$g(z)$[/tex] non è olomorfa, giacché prende solo valori reali.
@dissonance: Grazie per lo spunto.
grazie 
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