Differenze tra simboli di derivazione
ciao a tutti,
sapete la differenza tra i simboli [tex]\frac{\partial }{\partial x}[/tex] e [tex]\frac{d}{dx}[/tex]?
so che i due simboli sono diversi, cioè se applicati ad una funzione, non producono generalmente lo stesso risultato. ma non so proprio in cosa consista questa differenza.
ad esser sincero, per me le due scritture indicavano lo stesso oggetto finchè non ho trovato a metà libro un teorema che utilizza i due simboli facendo intendere chiaramente che non sono lo stesso oggetto. peccato che il libro in questione non abbia mai spiegato quale fosse la differenza... ._.
mi sapreste dare, anche in modo informale una spiegazione sulla differenza? o magari indicarmi qualche testo che la tratta...
grazie in anticipo per le risposte
sapete la differenza tra i simboli [tex]\frac{\partial }{\partial x}[/tex] e [tex]\frac{d}{dx}[/tex]?
so che i due simboli sono diversi, cioè se applicati ad una funzione, non producono generalmente lo stesso risultato. ma non so proprio in cosa consista questa differenza.
ad esser sincero, per me le due scritture indicavano lo stesso oggetto finchè non ho trovato a metà libro un teorema che utilizza i due simboli facendo intendere chiaramente che non sono lo stesso oggetto. peccato che il libro in questione non abbia mai spiegato quale fosse la differenza... ._.
mi sapreste dare, anche in modo informale una spiegazione sulla differenza? o magari indicarmi qualche testo che la tratta...
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Posso provare a risponderti, anche se credo che non sia la persona migliore per farlo 
Mi sembra di ricordarmi che motivo percui si utilizza la notazione $\partial/(\partialx)$ derivi dal fatto che si ha l'esigenza di distingure i casi in cui è permessa o meno una semplificazione di questo genere:
$(df)/(dg)(dg)/(dx)=(df)/dx$
So di per certo che quando si utilizza il simbolo $\partial/(\partialx)$ essa NON è permessa, cioè:
$(\partialf)/(\partialg)(\partialg)/(\partialx)!=(\partialf)/(\partialx)$
L'argomento dovrebbe riguardare la "regola della catena".
Lo trovi spiegato a 38:50 in questo video: http://www.youtube.com/watch?v=7eZVshlT33Q
Comunque fatto sta che la spiegazione non l'ho mai trovata su nessun libro di testo, quindi è meglio che ti fidi della risposta di qualcuno più esperto di me...
Mi sembra di ricordarmi che motivo percui si utilizza la notazione $\partial/(\partialx)$ derivi dal fatto che si ha l'esigenza di distingure i casi in cui è permessa o meno una semplificazione di questo genere:
$(df)/(dg)(dg)/(dx)=(df)/dx$
So di per certo che quando si utilizza il simbolo $\partial/(\partialx)$ essa NON è permessa, cioè:
$(\partialf)/(\partialg)(\partialg)/(\partialx)!=(\partialf)/(\partialx)$
L'argomento dovrebbe riguardare la "regola della catena".
Lo trovi spiegato a 38:50 in questo video: http://www.youtube.com/watch?v=7eZVshlT33Q
Comunque fatto sta che la spiegazione non l'ho mai trovata su nessun libro di testo, quindi è meglio che ti fidi della risposta di qualcuno più esperto di me...
"Ziel van brand":
ciao a tutti,
sapete la differenza tra i simboli [tex]\frac{\partial }{\partial x}[/tex] e [tex]\frac{d}{dx}[/tex]?
Il primo simbolo indica la derivata parziale di una funzione a più variabili.
Il secondo indica la derivata di una funzione a una variabile.
ok... questa è una differenza. ma deve esserci ancora qualcos'altro sotto...
dico questo perchè il teorema che ha scatenato questo uragano in un passaggio scrive una cosa del tipo:
[tex]\alpha = \frac{d}{dx}F - \frac{\partial}{\partial x}F[/tex]
a parole: la differenza a secondo membro NON è nulla. e... boh! insomma... c'entra con quanto tu mi hai detto e con quanto il professore del MIT afferma? e in che modo?
Il primo simbolo indica la derivata parziale di una funzione a più variabili.
Il secondo indica la derivata di una funzione a una variabile.[/quote]
si... e no.
il teorema di cui parlo è il teorema di gauss-green. la F che ho scritto qui sopra nella formula è la stessa in entrambi i termini a destra dell'uguale, ed è una funzione a più variabili.
dico questo perchè il teorema che ha scatenato questo uragano in un passaggio scrive una cosa del tipo:
[tex]\alpha = \frac{d}{dx}F - \frac{\partial}{\partial x}F[/tex]
a parole: la differenza a secondo membro NON è nulla. e... boh! insomma... c'entra con quanto tu mi hai detto e con quanto il professore del MIT afferma? e in che modo?
"Quinzio":
[quote="Ziel van brand"]ciao a tutti,
sapete la differenza tra i simboli [tex]\frac{\partial }{\partial x}[/tex] e [tex]\frac{d}{dx}[/tex]?
Il primo simbolo indica la derivata parziale di una funzione a più variabili.
Il secondo indica la derivata di una funzione a una variabile.[/quote]
si... e no.
il teorema di cui parlo è il teorema di gauss-green. la F che ho scritto qui sopra nella formula è la stessa in entrambi i termini a destra dell'uguale, ed è una funzione a più variabili.
Mah, secondo me non ha molto senso. E' possibile vedere il testo originale completo ?
Ad esempio qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green i simboli sono usati sempre in modo coerente.
Ad esempio qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green i simboli sono usati sempre in modo coerente.
ecco qui: http://img20.imageshack.us/img20/4835/d ... uisito.jpg
ho evidenziato il passaggio in questione con un po' di verde.
se può interessare: è il testo "analisi matematica 2" di Enrico Giusti, Bollati Boringhieri.
io non riesco a capire già da prima, come si può vedere dal mio punto di domanda. quindi non riesco proprio nemmeno a riflettere sull'equazione in questione
ho evidenziato il passaggio in questione con un po' di verde.
se può interessare: è il testo "analisi matematica 2" di Enrico Giusti, Bollati Boringhieri.
io non riesco a capire già da prima, come si può vedere dal mio punto di domanda. quindi non riesco proprio nemmeno a riflettere sull'equazione in questione
Ciao Ziel innanzitutto ti consiglio di studiare da un altra parte, anche wikipedia va bene, il teorema di Green e già questo ti potrà aiutare anche perchè il testo è troppo matematico per un primo approccio, riguardo alla differenza di cui parli ha senso solo se F è una funzione di più variabili e giustamente la differenza è diversa da zero
troppo matematico?! o.o
a me quel libro sembra persino troppo prolisso! o.o
io preferisco di gran lunga l'approccio matematico a quello discorsivo (e quindi anche poche parole tra un passaggio all'altro dei teoremi), ma ogni passaggio deve essere logicamente collegato al precedente o giustificato se non ovvio, e almeno vorrei che usasse una matematica già spiegata nei precedenti capitoli :\
quell'equazione che ho evidenziato io proprio non la capisco ad esempio perchè mai spiegata prima... :\
luca, tu che devi aver inteso il perchè quella differenza non sia zero, mi dai qualche dritta sul PERCHÈ non debba essere zero?
a me quel libro sembra persino troppo prolisso! o.o
io preferisco di gran lunga l'approccio matematico a quello discorsivo (e quindi anche poche parole tra un passaggio all'altro dei teoremi), ma ogni passaggio deve essere logicamente collegato al precedente o giustificato se non ovvio, e almeno vorrei che usasse una matematica già spiegata nei precedenti capitoli :\
quell'equazione che ho evidenziato io proprio non la capisco ad esempio perchè mai spiegata prima... :\
luca, tu che devi aver inteso il perchè quella differenza non sia zero, mi dai qualche dritta sul PERCHÈ non debba essere zero?
Mai sentito parlare di differenziale totale? La funzione $F$ dipende dalla $x$ sia come prima variabile (in maniera esplicita, se volete) che come seconda variabile (cammuffata nella funzione $\alpha$). Consideriamo $F=F(x,\alpha(x))=g(x)$ (intesa come funzione che dipende esclusivamente da $x$): allora ha senso, usando la regola della catena, eseguire il calcolo seguente
[tex]$\frac{d}{dx} g(x)=\frac{d}{dx} F(x,\alpha(x))=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\alpha'(x)$[/tex]
dove si tiene conto del fatto che $F$, essendo effettivamente una funzione di due variabili, può essere derivata parzialmente e si ha anche che $y=\alpah(x)$.
Ora è chiaro?
@lucadileta: fuggi da questo forum prima che tornino Fioravante o Gugo, perché prevedo che ti insulteranno!
(io non lo faccio perché ho troppo caldo!).
[tex]$\frac{d}{dx} g(x)=\frac{d}{dx} F(x,\alpha(x))=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\alpha'(x)$[/tex]
dove si tiene conto del fatto che $F$, essendo effettivamente una funzione di due variabili, può essere derivata parzialmente e si ha anche che $y=\alpah(x)$.
Ora è chiaro?
@lucadileta: fuggi da questo forum prima che tornino Fioravante o Gugo, perché prevedo che ti insulteranno!
(io non lo faccio perché ho troppo caldo!).
ora si, è chiaro
mi chiedo quindi adesso... perchè il mio libro non si degna di chiarire questo semplice concetto? :\
grazi dell'aiuto
mi chiedo quindi adesso... perchè il mio libro non si degna di chiarire questo semplice concetto? :\
grazi dell'aiuto
Perché suppongo che, qualche capitolo prima, ti abbia già spiegato cosa sono le derivate parziali e il differenziale totale, quindi si aspetta che tu metta in moto il cricetino nel cervello e ci arrivi da solo! Se in un libro ogni volta si dovessero rispiegare le cose, il Bramanti sarebbe la bibbia in 8 tomi da 38256547235 pagine ciascuno!
Se in un libro ogni volta si dovessero rispiegare le cose, il Bramanti sarebbe la bibbia in 8 tomi da 38256547235 pagine ciascuno!
beh, mettere un attimo insieme le due cose però, dato che saranno utilizzate in seguito... 
d'altronde sarebbe stato sufficiente scrivere quanto tu hai scritto, quindi l'equivalente di 4-5 righe. il resto del libro lo trovo più o meno completo e "autonomo". cioè non viene richiesto mediamente che il cricetino giri così velocemente come è il caso in questione; in tutto il resto del libro il cricetino può anche andare adagio senza perdersi niente e, anzi, capendo tutto. è singolare quindi che ci sia un punto in cui lo sforzo richiesto sia così ben superiore alla norma.
poi vabbeh... per me sto libro non è manco un granchè...
bon allora. porto il cricetino a pascolo sulle successioni di funzioni. ciao
d'altronde sarebbe stato sufficiente scrivere quanto tu hai scritto, quindi l'equivalente di 4-5 righe. il resto del libro lo trovo più o meno completo e "autonomo". cioè non viene richiesto mediamente che il cricetino giri così velocemente come è il caso in questione; in tutto il resto del libro il cricetino può anche andare adagio senza perdersi niente e, anzi, capendo tutto. è singolare quindi che ci sia un punto in cui lo sforzo richiesto sia così ben superiore alla norma.
poi vabbeh... per me sto libro non è manco un granchè...
bon allora. porto il cricetino a pascolo sulle successioni di funzioni. ciao
@ciampax :O aiuto!! ho già preparato passaporto e valigie per la fuga
p.s. sono un ingegnere c'aggia fa sono orientato al risultato per natura
p.s. sono un ingegnere c'aggia fa sono orientato al risultato per natura
"Ziel van brand":
beh, mettere un attimo insieme le due cose però, dato che saranno utilizzate in seguito...
d'altronde sarebbe stato sufficiente scrivere quanto tu hai scritto, quindi l'equivalente di 4-5 righe. il resto del libro lo trovo più o meno completo e "autonomo". cioè non viene richiesto mediamente che il cricetino giri così velocemente come è il caso in questione; in tutto il resto del libro il cricetino può anche andare adagio senza perdersi niente e, anzi, capendo tutto. è singolare quindi che ci sia un punto in cui lo sforzo richiesto sia così ben superiore alla norma.
poi vabbeh... per me sto libro non è manco un granchè...
bon allora. porto il cricetino a pascolo sulle successioni di funzioni. ciao
Sinceramente questo "sforzo superiore alla norma" che tu dici ci voglia non mi sembra essere tanto eccessivo. Si tratta solo di ricordare il concetto di derivata parziale e derivata totale. Invece di lamentarsi, uno farebbe meglio a cercare di ragionare su... ma vabbé, se pensi che quel libro sia fatto male (io, sinceramente, non ci ho mai avuto molto a che fare) puoi cercarne altri.
come faccio a ricordare un concetto che non mi è stato spiegato? >_>
poi insomma... se vuoi continuare a sostenere che questo mio dubbio era banale, amen. sarà stato un dubbio banale. ma avrò il diritto di avere dubbi anche non su questioni auliche, no? :\
e se ragionandoci non ci arrivo, che fo? io chiedo. e se non si può manco chiedere, a sto punto i 3/4 dei thread aperti in questo forum andrebbero chiusi.
e ho anche il sacrosanto diritto di lamentarmi se a metà libro ti ritrovi davanti ad una scrittura usata per la prima volta e che tira in mezzo concetti fatti a metà (quel libro scrive cosa sia il differenziale in 1 riga, non lo chiama differenziale totale, e afferma che il concetto non verrà usato se non raramente in altre parti del libro).
bon, comunque qui avevo già risolto 2-3 messaggi fa. e questo messaggio mi farà passare pure per polemico, quindi...
ciao e grazie per l'aiuto.
edit:
ah, per quanto riguarda il "cambiare libro": buona idea, ma gli argomenti dell'esame sono "il libro", testuali parole del mio insegnante. quindi alla fine tanto vale studiare sul libro in questione piuttosto che studiarne due per sapere alla fine le stesse cose. e se ho un dubbio, come già detto, chiedo. anche solo per avere indicazioni su un altro testo da poter consultare sull'argomento in questione.
poi insomma... se vuoi continuare a sostenere che questo mio dubbio era banale, amen. sarà stato un dubbio banale. ma avrò il diritto di avere dubbi anche non su questioni auliche, no? :\
e se ragionandoci non ci arrivo, che fo? io chiedo. e se non si può manco chiedere, a sto punto i 3/4 dei thread aperti in questo forum andrebbero chiusi.
e ho anche il sacrosanto diritto di lamentarmi se a metà libro ti ritrovi davanti ad una scrittura usata per la prima volta e che tira in mezzo concetti fatti a metà (quel libro scrive cosa sia il differenziale in 1 riga, non lo chiama differenziale totale, e afferma che il concetto non verrà usato se non raramente in altre parti del libro).
bon, comunque qui avevo già risolto 2-3 messaggi fa. e questo messaggio mi farà passare pure per polemico, quindi...
ciao e grazie per l'aiuto.
edit:
ah, per quanto riguarda il "cambiare libro": buona idea, ma gli argomenti dell'esame sono "il libro", testuali parole del mio insegnante. quindi alla fine tanto vale studiare sul libro in questione piuttosto che studiarne due per sapere alla fine le stesse cose. e se ho un dubbio, come già detto, chiedo. anche solo per avere indicazioni su un altro testo da poter consultare sull'argomento in questione.
No aspetta Ziele, forse hai frainteso cosa intendevo. Primo, tu il fatto che non ti avessero parlato di derivate parziali e derivate totali non lo avevi affermato (ma ne dubito, perché quando si parla di funzioni di due variabili e derivabilità, è una cosa fondamentale). Secondo non era una critica nel dire "non è necessario chiedere perché è una stronzata" ma nel cercare di stimolare a pensare alle cose, cercando di creare quei ponti "minimi" nelle cose teoriche che chiunque studia dovrebbe riuscire ad ottenere. Infine sul libro: non ho detto che devi buttarlo, semplicemente che oltre a quello ci sono altri testi 8anche reperibili in rete) e che studiare da una sola fonte, spesso 8sopratutto se non è una fonte "ragionata" da chi tiene il corso) può risultare riduttivo.
mi spiace tu l'abbia presa male, ma io intendevo spronarti a ragionarci su, non darti del deficiente!
mi spiace tu l'abbia presa male, ma io intendevo spronarti a ragionarci su, non darti del deficiente!
tu non ci crederai, ma il mio corso di analisi 2 è stato tenuto in maniera assolutamente sommaria (almeno per me). le lezioni sembravano più delle occasioni in cui ritrattare argomenti già studiati. il punto è che quegli argomenti erano nuovi per tutti...
per quanto riguarda il libro, mi spiego meglio: per i contenuti va bene, nel senso che tratta più o meno tutti quelli toccati durante il corso, ma credo lo faccia in maniera troppo discorsiva e riduttiva. è più che altro una mia impressione, perchè con sto libro, analisi matematica 2 sembra più facile e con meno argomenti rispetto ad analisi matematica 1.
non so... 20 pagine bastano per spiegare le successioni e le serie di funzioni...? boh... secondo me proprio a occhio son poche.
più tardi metterò una scansione della pagina in cui il libro introduce il differenziale. annuncio già ora che viene spiegato sotto ad un paragrafetto intitolato "osservazione" (e uno già pensa: beh ok, sarà una semicavolata allora. poi... beh, vedrete) alla pagina 12.
da pagina 12 a pagina 177, del differenziale NON c'è traccia. te lo vedi comparire a pag 177 nel teorema di gauss-green, e ti chiedi quindi "e questa roba che è?". non dico che "dato che è una cosa spiegata a pag 12, ho il diritto di non ricordarmela", dico piuttosto: "da dove sbuca fuori sta scrittura!? spiegamela un attimo in 1-2 righe!". ecco tutto.
per quanto riguarda il libro, mi spiego meglio: per i contenuti va bene, nel senso che tratta più o meno tutti quelli toccati durante il corso, ma credo lo faccia in maniera troppo discorsiva e riduttiva. è più che altro una mia impressione, perchè con sto libro, analisi matematica 2 sembra più facile e con meno argomenti rispetto ad analisi matematica 1.
non so... 20 pagine bastano per spiegare le successioni e le serie di funzioni...? boh... secondo me proprio a occhio son poche.
più tardi metterò una scansione della pagina in cui il libro introduce il differenziale. annuncio già ora che viene spiegato sotto ad un paragrafetto intitolato "osservazione" (e uno già pensa: beh ok, sarà una semicavolata allora. poi... beh, vedrete) alla pagina 12.
da pagina 12 a pagina 177, del differenziale NON c'è traccia. te lo vedi comparire a pag 177 nel teorema di gauss-green, e ti chiedi quindi "e questa roba che è?". non dico che "dato che è una cosa spiegata a pag 12, ho il diritto di non ricordarmela", dico piuttosto: "da dove sbuca fuori sta scrittura!? spiegamela un attimo in 1-2 righe!". ecco tutto.
Ma infatti io non parlo di differenziale, ma di derivate. Comunque a me l'approccio che fa in quella osservazione non piace. Quello che ti conviene ricordare è che, in generale vale quanto segue (e sono sicuro che nel tuo libro ci sia scritto): considera una funzione $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ e consideriamo la curva $g:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^n,\ g(t)=(x_1(t),\ldots, x_n(t))$ in modo che si possa considerare la funzione composta $f(t)=F(g(t))$. Allora la derivata totale rispetto a $t$ della funzione $f$ si ottiene tramite il teorema di derivazione delle funzioni composte (o "chain rule") al modo seguente
[tex]$\frac{df}{dt}=\sum_{j=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_j}\cdot\frac{dx_j}{dt}$[/tex]
Ora prova a spiegarmi tu l'uso che ho fatto dei simboli di derivazione.
[tex]$\frac{df}{dt}=\sum_{j=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_j}\cdot\frac{dx_j}{dt}$[/tex]
Ora prova a spiegarmi tu l'uso che ho fatto dei simboli di derivazione.
non piace manco a te quel libro, vedi?
ora ci sono comunque. ho capito la differenza, almeno intuitivamente. poi il video linkato da ghost nel secondo messaggio dà più o meno un significato chiaro dei due oggetti.
per cui... quel che ho capito è che [tex]\frac{d}{dx}f[/tex] esprime in che modo la funzione varia al variare x "globalmente"... e che nell'equazione da te scritta, [tex]\frac{d}{dt} x_j[/tex] può essere sostituito con [tex]\frac{\partial}{\partial t} x_j[/tex] data la forma di x = x(t).
... ok non si capisce nulla. proviamo con un esempio: se [tex]f = f(x,y(x))[/tex], [tex]\frac{d}{dx}f = \frac{\partial }{\partial x}f + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y }{\partial x}[/tex]. (dove i prodotti sono da intendere opportunamente come prodotti scalari tra vettori, qualora le funzioni in gioco siano vettoriali. questo non è comunque un punto che mi crea problemi).
a parole (provo almeno): [tex]\frac{\partial }{\partial x}f[/tex] indica in che modo la f varia al variare di x, variabile che appare "esplicitamente" nella funzione.
se avessi invece una [tex]f = f(a(x),b(x))[/tex], l'oggetto [tex]\frac{\partial }{\partial x}f[/tex] non avrebbe senso, in quanto f varia al variare di x solo attraverso a e b. mentre, se considero [tex]g (x) = f(a(x),b(x))[/tex], in tal caso [tex]\frac{\partial }{\partial x}g[/tex] ha senso, ed ha lo stesso significato di [tex]\frac{d }{d x}g[/tex].
ovviamente non si capisce nulla da quanto ho detto. però son fiducioso di aver compreso (almeno intuitivamente) la differenza tra i due oggetti.
ps:
si, la chain rule c'è sul libro, è scritta in termini di gradiente moltiplicato per un vettore, e senza usare le "d dritte" per indicare le derivate. si capisce senza problemi, ma non fa proprio uso delle "d dritte".
ora ci sono comunque. ho capito la differenza, almeno intuitivamente. poi il video linkato da ghost nel secondo messaggio dà più o meno un significato chiaro dei due oggetti.
per cui... quel che ho capito è che [tex]\frac{d}{dx}f[/tex] esprime in che modo la funzione varia al variare x "globalmente"... e che nell'equazione da te scritta, [tex]\frac{d}{dt} x_j[/tex] può essere sostituito con [tex]\frac{\partial}{\partial t} x_j[/tex] data la forma di x = x(t).
... ok non si capisce nulla. proviamo con un esempio: se [tex]f = f(x,y(x))[/tex], [tex]\frac{d}{dx}f = \frac{\partial }{\partial x}f + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y }{\partial x}[/tex]. (dove i prodotti sono da intendere opportunamente come prodotti scalari tra vettori, qualora le funzioni in gioco siano vettoriali. questo non è comunque un punto che mi crea problemi).
a parole (provo almeno): [tex]\frac{\partial }{\partial x}f[/tex] indica in che modo la f varia al variare di x, variabile che appare "esplicitamente" nella funzione.
se avessi invece una [tex]f = f(a(x),b(x))[/tex], l'oggetto [tex]\frac{\partial }{\partial x}f[/tex] non avrebbe senso, in quanto f varia al variare di x solo attraverso a e b. mentre, se considero [tex]g (x) = f(a(x),b(x))[/tex], in tal caso [tex]\frac{\partial }{\partial x}g[/tex] ha senso, ed ha lo stesso significato di [tex]\frac{d }{d x}g[/tex].
ovviamente non si capisce nulla da quanto ho detto. però son fiducioso di aver compreso (almeno intuitivamente) la differenza tra i due oggetti.
ps:
si, la chain rule c'è sul libro, è scritta in termini di gradiente moltiplicato per un vettore, e senza usare le "d dritte" per indicare le derivate. si capisce senza problemi, ma non fa proprio uso delle "d dritte".
Ok, ci siamo. Più o meno hai colto l'essenza della simbologia e il loro significato. Tienila sempre a mente la chain rule perché, quasi tutte le formule o risultati noti di integrazione attraverso curve o per restrizioni a superfici o domini vari, passa attraverso questa roba (ad esempio, è lei la responsabile dell'apparizione dello Jacobiano negli integrali multipli quando cambi variabili).
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