Differenze e similitudini tra funzioni equivalenti, asintotiche e in relazione di equivalenza forte?

[midu107]

Due funzioni si dicono equivalenti per $x \to c$ se e solo se $lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=1$


Sul mio libro di analisi, quando si parla di asintoti obliqui, si dice che una funzione $f(x)$ si dice asintotica a una funzione $g(x)$ se $lim_{x\to \infty} f(x)-g(x)=0$.

Quello che non riesco a capire è che rapporto c'è tra le due cose, il fatto che $lim_{x\to \infty} f(x)-g(x)=0$ (cioè che le due funzioni sono asintotiche) implica che $f$ e $g$ sono anche equivalenti?

In più sul libro il limite $lim_{x\to \infty} f(x)-g(x)=0$ tende a infinito ma la definizione vale anche per $x$ tendente a un generico $c\in \mathbb{R}$?


Inoltre consultando questa dispensa trovata online http://www.dm.uniba.it/~pisani/matematica/ordini.pdf, a pagina 3 si dice che, considerata una funzione $f(x)$ che sia infinita, la condizione $f(x)-g(x)\to l \in \mathbb{R}$ si dice equivalenza forte in quanto essa implica che $f$ e $g$ siano equivalenti mentre non vale il viceversa (anche se il controesempio riportato nella dispensa a me sembra errato).

Anche in questo caso vale solo per $x$ tendente a infinito?

Insomma da quello che ho letto un po' qua e là

$lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ : $f$ e $g$ si dicono equivalenti

$lim_{x\to \infty} f(x)-g(x)=0$ : $f$ e $g$ si dicono asintotiche

$lim_{x\to \infty} f(x)-g(x)= l \in \mathbb{R}$ : $f$ e $g$ si dicono in relazione di equivalenza forte

Quello che mi chiedo è se la seconda e la terza definizione siano in relazione con la prima e in che modo.

Scusate ho un po' di confusione in testa..

Ringrazio in anticipo chiunque mi voglia dare una mano