Differenzabilità in un punto

[lucalo1]

E` almeno da un'ora che sto cercando di capire se una certa funzione è differenziabile in un punto.
Dai risultati che ottengo credo lo sia, tuttavia ho un dubbio sull'esistenza delle derivate parziali che vorrei chiarire.
La funzione è questa $ sqrt(|x*tg(y)| $ e devo vedere se è differenziabilie in (0,0)
Il dubbio sulle derivate parziali è:
Se $ (partial f)/(partial x) = ((x*tg^2(y))/(2*sqrt(|x*tg(y)|^3))) $
per x,y = 0,0 non dovrebbe proprio esistere.
Ora il dubbio è. Mi considero un prolungamento per la funzione derivata in (x,y) = (0,0), considero la funzione non differenziabile oppure non mi pongo il problema, ignoro il denominatore nullo e considero la derivata uguale a 0 ?

[Brancaleone1]

La derivata in realtà vale:

$partial/(partialx)[sqrt(|xtan(y)|)]=1/(2sqrt(|xtan(y)|))cdot partial/(partialx)[|xtan(y)|]=1/(2sqrt(|xtan(y)|))cdot |x|/x |tan(y)|=sqrt(|xtan(y)|)/(2x)$

Ora devi calcolarti $lim_((x,y)->(0,0)) partial/(partialx)f(x,y)$, e vedi che...

[lucalo1]

Non esiste....
quindi la funzione, non essendo derivabile in 0,0 non è differenziabile, giusto?

[Brancaleone1]

Esatto

[lucalo1]

Grazie mille
Posso comunque considerare una funzione derivata che vale
$ { ( (partial f) / (partialx) (x,y)!=(0,0) ),( 0 (x,y)=(0,0) ):} $
e rendere il tutto differenziabile, vero?