Differenza tra successione convergente e success. limitata

[tenebrikko]

salve a tutti! sso ke l'ho postato già una volta però mi servirebbe una risposta percui vi richiedo:
Qual è la differenza tra successione convergente e successione limitata? non riesco a capire che c'è di diverso! grazie

[Giuly191]

Ogni successione convergente è limitata, ma non vale il viceversa. Prendi ad esempio una successione $NN->RR$ fatta così: $1,0,1,0,1,0,1..$, evidentemente è limitata, ma non è convergente, in quanto oscilla e quindi non ammette limite.
Ci sono anche successioni che sono convergenti in alcuni insiemi e non in altri, per esempio considera una successione da $NN$ in $QQ$ che tende a $sqrt(2)$, il limite di questa successione non esiste in $QQ$, se avessi preso la stessa successione da $NN$ in $RR$ allora sarebbe stata convergente (in entrambi i casi la successione in questione è però limitata).

[Martino82]

Definizione:
Una successione (an) si dice limitata superiormente (o inferiormente) se esiste una $EE$ M $in$ $RR$ tale che an$<=$(o$>=$) M $AA$ n$in$$NN$
Una successione (an) si dice limitata sia superiormente che inferiormente se esiste una $EE$ M $in$ $RR$ tale che |an| $<=$ M $AA$ n$in$$NN$

Teorema:
Ogni successione convergente è limitata

Dalla dimostrazione del teorema ( che puoi trovare dovunque ) si evince che la convergenza di una successione implica che sia limitata.

Se ti serve una dimostrazione semplice te la posso scrivere!!!

[tenebrikko]

grazie mille