Differenza tra limite destro e sinistro
Conosco il concetto teorico del limite destro e sinistro, ma non ho mai capito la reale applicazione nei limiti da calcolare.
Qual è la differenza meramente concreta ( ovvero in termini di risultato finale ) di un limite a destra e sinistra?
Di funzione come il logaritmo, credo che non esistendo la funzione prima di $0$, non possa esistere un limite unico ma esista solo il limite a destra.
Ma in generale che discorso si può fare a riguardo? Spesso nel controllo del risultato finale, Wolfram mi da due risultati di un limite tendente ad $n$, prima da dx e poi da sx. Ma come capisco quando ce ne sono due e quando c'è solo uno?
Qual è la differenza meramente concreta ( ovvero in termini di risultato finale ) di un limite a destra e sinistra?
Di funzione come il logaritmo, credo che non esistendo la funzione prima di $0$, non possa esistere un limite unico ma esista solo il limite a destra.
Ma in generale che discorso si può fare a riguardo? Spesso nel controllo del risultato finale, Wolfram mi da due risultati di un limite tendente ad $n$, prima da dx e poi da sx. Ma come capisco quando ce ne sono due e quando c'è solo uno?
Risposte
proviamo con questa
$f(x)=1/(x-2)$
e poi con questa
$f(x)=(x^2-4)/(x-2)$
$f(x)=1/(x-2)$
e poi con questa
$f(x)=(x^2-4)/(x-2)$
$lim_{x->0} 1/(x-2)$ $= -1/2$
$lim_{x->0} (x^2-4)/(x-2) =$ $2$
Ho semplicemente sostituito le $x$, non trovando forme indeterminate.
$lim_{x->0} (x^2-4)/(x-2) =$ $2$
Ho semplicemente sostituito le $x$, non trovando forme indeterminate.
Devi calcolare il limite per $ x rarr 2^(+) $-limite dx - e poi $x rarr 2^(-)$ limite sx .
Entrambe le funzioni si annullano in $2$, se faccio il limite in quei punti ottengo il ''comportamento'' di quelle funzioni?
"Mr.Mazzarr":
Entrambe le funzioni si annullano in $2$, se faccio il limite in quei punti ottengo il ''comportamento'' di quelle funzioni?
Si annullano i denominatori
Certo. Quindi cosa posso concludere ?
Semplicemente ottieni un valore limite $f(x_0)$ cui appunto la tua funzione tende man mano che si "avvicina" a $x_0$ senza effettivamente raggiungerlo. La distinzione tra limite destro e limite sinistro si fa quando:
*la funzione si comporta in maniera differente a seconda che ci si avvicini a $x_0$ da destra ($x->x_0^+$) o da sinistra ($x->x_0^-$).
Esempio:
$lim_(x->0^+)1/x=+oo$
$lim_(x->0^-)1/x=-oo$
$lim_(x->0)1/x=text(non esiste)$
*la funzione non è definita alla "immediata" destra (sinistra) di $x_0$ (benché si possa informalmente tralasciare la distinzione destra/sinistra proprio perché non è possibile fare confusione tra limite destro/sinistro).
Esempio:
$lim_(x->0)ln(x)=lim_(x->0^+)ln(x)=-oo$
Quando invece i limiti destro/sinistro sono uguali:
$lim_(x->0^+)1/x^2=lim_(x->0^-)1/x^2=lim_(x->0)1/x^2=+oo$
*la funzione si comporta in maniera differente a seconda che ci si avvicini a $x_0$ da destra ($x->x_0^+$) o da sinistra ($x->x_0^-$).
Esempio:
$lim_(x->0^+)1/x=+oo$
$lim_(x->0^-)1/x=-oo$
$lim_(x->0)1/x=text(non esiste)$
*la funzione non è definita alla "immediata" destra (sinistra) di $x_0$ (benché si possa informalmente tralasciare la distinzione destra/sinistra proprio perché non è possibile fare confusione tra limite destro/sinistro).
Esempio:
$lim_(x->0)ln(x)=lim_(x->0^+)ln(x)=-oo$
Quando invece i limiti destro/sinistro sono uguali:
$lim_(x->0^+)1/x^2=lim_(x->0^-)1/x^2=lim_(x->0)1/x^2=+oo$
La funzione $1/x$ ha esatta distinzione tra limite destro e sinistro poichè è una funzione che è definita in tutto $R$, mentre il logaritmo prima di $0$ non esiste e quindi esiste solo il limite da destra, no?
No, la funzione $1/x$ non è definita in $0$...
Ed è per questo che in $0$ esatto non possiamo studiarla..
"Mr.Mazzarr":
Ed è per questo che in $0$ esatto non possiamo studiarla..
Non è che non possiamo studiarla (già il fatto di affermare che in $0$ non esiste è di per sè l'esito di uno studio): si può invece dire che non possiamo attribuirle un valore univoco (cambia a seconda dell'avvicinarsi da destra/sinistra).
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