Differenza tra intersezione ed unione di insiemi analisi 2
Ciao a tutti, sto avendo problemi a capire un concetto sugli insieme...cioè, se ho un insieme chiuso $[1/n,1-1/n]$ e mando $n$ ad infinito ho un'UNIONE di infiniti insiemi continui e l'insieme finale è un aperto mentre un insieme aperto $(-1/n,1/n)$ se mando $n$ ad infinito ho un'INTERSEZIONE di infiniti insiemi aperti che mi da un insieme chiuso in questo caso...dunque...non riesco a capire la differenza tra unione ed intersezione in questo esempio...cioè...a me sembrano esattamente la stessa cosa..voi che dite? grazie mille.
Risposte
Provo a risponderti io, anche se sono piuttosto arrugginita sugli argomenti universitari.
Spero di aver capito il tuo dubbio, e quindi di esserti utile.
Nel primo esempio da te citato, gli intervalli diventano sempre più grandi all'aumentare di n, nel senso che ognuno degli intervalli chiusi contiene tutti i precedenti. Se conosci il concetto di unione tra più insiemi, dovresti sapere che l'unione dei primi n intervalli è proprio l'n-esimo (l'ultimo). Questo se la successione fosse finita. In questo caso, il primo estremo dell'intervallo tende a 0 per n che tende all'infinito, ed il secondo tende a 1. Perciò, nell'unione infinita troverai ogni numero compreso strettamente tra 0 ed 1, ma non gli estremi.
Al contrario, nel secondo esempio, all'aumentare di n, gli intervalli diventano sempre più piccoli, nel senso che ciascuno di essi è contenuto in ognuno dei precedenti, per cui, se si trattasse di trovare l'intersezione (finita) dei primi n intervalli, questa sarebbe esattamente l'ultimo intervallo, l'n-esimo. Ma tu devi fare un'intersezione infinita, e poiché per n che tende all'infinito troverai intervalli in cui il primo estremo (negativo) ed il secondo estremo (positivo) tendono entrambi a 0, nell'intersezione infinita non potrà esserci alcun numero diverso da 0, però lo 0 ci appartiene.
In conclusione, $uuu[1/n, 1-1/n]=(0,1)$, $nnn(-1/n,+1/n)={0}$. Il primo insieme è un aperto, il secondo un chiuso.
Forse ti potrà essere utile ricordare (non so se hai già studiato topologia) che l'unione anche infinita di aperti è un aperto, l'intersezione finita di un aperto è un aperto, ma non si può dire nulla sull'intersezione infinita. Al contrario, l'intersezione anche infinita di chiusi è un chiuso, l'unione finita di chiusi è un chiuso, mentre non si può dire nulla sull'unione infinita.
Ciao.
Spero di aver capito il tuo dubbio, e quindi di esserti utile.
Nel primo esempio da te citato, gli intervalli diventano sempre più grandi all'aumentare di n, nel senso che ognuno degli intervalli chiusi contiene tutti i precedenti. Se conosci il concetto di unione tra più insiemi, dovresti sapere che l'unione dei primi n intervalli è proprio l'n-esimo (l'ultimo). Questo se la successione fosse finita. In questo caso, il primo estremo dell'intervallo tende a 0 per n che tende all'infinito, ed il secondo tende a 1. Perciò, nell'unione infinita troverai ogni numero compreso strettamente tra 0 ed 1, ma non gli estremi.
Al contrario, nel secondo esempio, all'aumentare di n, gli intervalli diventano sempre più piccoli, nel senso che ciascuno di essi è contenuto in ognuno dei precedenti, per cui, se si trattasse di trovare l'intersezione (finita) dei primi n intervalli, questa sarebbe esattamente l'ultimo intervallo, l'n-esimo. Ma tu devi fare un'intersezione infinita, e poiché per n che tende all'infinito troverai intervalli in cui il primo estremo (negativo) ed il secondo estremo (positivo) tendono entrambi a 0, nell'intersezione infinita non potrà esserci alcun numero diverso da 0, però lo 0 ci appartiene.
In conclusione, $uuu[1/n, 1-1/n]=(0,1)$, $nnn(-1/n,+1/n)={0}$. Il primo insieme è un aperto, il secondo un chiuso.
Forse ti potrà essere utile ricordare (non so se hai già studiato topologia) che l'unione anche infinita di aperti è un aperto, l'intersezione finita di un aperto è un aperto, ma non si può dire nulla sull'intersezione infinita. Al contrario, l'intersezione anche infinita di chiusi è un chiuso, l'unione finita di chiusi è un chiuso, mentre non si può dire nulla sull'unione infinita.
Ciao.
grazie mille, mi hai illuminato 
prego, sono felice per te, ed anche un po' per me.
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