Differenza tra continuità semplice e continuità uniforme
Noi abbiamo definito continua una funzione $f:A\to RR$ se: $\forall y\in A \forall \epsilon >0 \exists \delta > 0 : |f(x)-f(y)| < \epsilon , \forall x\in A : |x-y| < \delta$.
Dopodichè abbiamo introdotto la definizione di continuità uniforme come: $\forall \epsilon >0 \exists \delta > 0 : |f(x)-f(y)| < \epsilon , \forall x\in A \forall y\in A : |x-y| < \delta$.
Ora, io ho compreso la differenza formale del fatto che in un caso $\delta$ dipende dai fissati $\epsilon$ ed $y$ mentre nell'altro dipende solo da $\epsilon$ e so che la continuità uniforme implica la continuità semplice ma non viceversa. Ma in termini meno formali, qual'è la differenza fra una funzione continua ed una uniformemente continua?
Ad esempio mi è stato fatto notare che $f:]0,1] \to RR$, $f(x)=1/x$ è continua sull'intervallo di definizione ma non lo è uniformemente. Perchè? Come dovrebbe essere per esserlo uniformemente?
Dopodichè abbiamo introdotto la definizione di continuità uniforme come: $\forall \epsilon >0 \exists \delta > 0 : |f(x)-f(y)| < \epsilon , \forall x\in A \forall y\in A : |x-y| < \delta$.
Ora, io ho compreso la differenza formale del fatto che in un caso $\delta$ dipende dai fissati $\epsilon$ ed $y$ mentre nell'altro dipende solo da $\epsilon$ e so che la continuità uniforme implica la continuità semplice ma non viceversa. Ma in termini meno formali, qual'è la differenza fra una funzione continua ed una uniformemente continua?
Ad esempio mi è stato fatto notare che $f:]0,1] \to RR$, $f(x)=1/x$ è continua sull'intervallo di definizione ma non lo è uniformemente. Perchè? Come dovrebbe essere per esserlo uniformemente?
Risposte
Dai un'occhiata a questa paginetta. Ti dà una idea intuitiva della continuità uniforme.
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Molto chiaro, grazie mille.
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