Differenza tra 2 serie simili
Salve ragazzi,avrei bisogno d'aiuto. Ho svolto la seguente serie , determinando la convergenza puntuale,assoluta e uniforme
riconducendola a questa:
Ne ho un'altra che è praticamente identica ma il segno non è alterno...
In che modo cambia lo svolgimento? Grazie in anticipo
riconducendola a questa:
Ne ho un'altra che è praticamente identica ma il segno non è alterno...
In che modo cambia lo svolgimento? Grazie in anticipo
Risposte
Ciao ciccio.95,
Ponendo $-y $ al posto di $y $ nella serie $ sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{y^{n + 1}}{n + 1} = ln(1 + y) $, si trova subito
$ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{y^{n + 1}}{n + 1} = - ln(1 - y) = ln(frac{1}{1 - y}) $
per $- 1 \le y < 1 $
Ponendo $-y $ al posto di $y $ nella serie $ sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{y^{n + 1}}{n + 1} = ln(1 + y) $, si trova subito
$ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{y^{n + 1}}{n + 1} = - ln(1 - y) = ln(frac{1}{1 - y}) $
per $- 1 \le y < 1 $
...Del resto è poco chiaro cosa c'entri il termine generale della prima serie con quello di \(\log(1+y)\)
Ciao killing_buddha,
Ti confesso che non ho capito la tua risposta...
Se non ho fatto male i conti, cosa che può sempre capitare, ponendo $y := x^4/2 $ nella serie $ sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{y^{n + 1}}{n + 1} = ln(1 + y) $ si ottiene la prima serie scritta da ciccio.95:
$ sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{x^{4n + 4}}{2^{n + 1} (n + 1)} = frac{x^4}{2} - frac{x^8}{2 \cdot 4} + frac{x^12}{3 \cdot 8} - frac{x^16}{4 \cdot 16} + ... = ln(1 + x^4/2) $
ovviamente con le opportune limitazioni per $x$ dedotte da quelle per $y $: $ - 1 < y \le 1 $
Invece, ponendo $y := x^2/2 $ nella serie che ho scritto nel mio post precedente $ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{y^{n + 1}}{n + 1} = - ln(1 - y) = ln(frac{1}{1 - y}) $ si ottiene la seconda serie scritta da ciccio.95:
$ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^{2n + 2}}{2^{n + 1} (n + 1)} = frac{x^2}{2} + frac{x^4}{2 \cdot 4} + frac{x^6}{3 \cdot 8} + frac{x^8}{4 \cdot 16} + ... = - ln(1 - x^2/2) = ln(frac{1}{1 - x^2/2}) $
sempre con le opportune limitazioni per $x$ dedotte da quelle per $y $: $ - 1 \le y < 1 $
"killing_buddha":
...Del resto è poco chiaro cosa c'entri il termine generale della prima serie con quello di $ log(1+y) $
Ti confesso che non ho capito la tua risposta...
Se non ho fatto male i conti, cosa che può sempre capitare, ponendo $y := x^4/2 $ nella serie $ sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{y^{n + 1}}{n + 1} = ln(1 + y) $ si ottiene la prima serie scritta da ciccio.95:
$ sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n frac{x^{4n + 4}}{2^{n + 1} (n + 1)} = frac{x^4}{2} - frac{x^8}{2 \cdot 4} + frac{x^12}{3 \cdot 8} - frac{x^16}{4 \cdot 16} + ... = ln(1 + x^4/2) $
ovviamente con le opportune limitazioni per $x$ dedotte da quelle per $y $: $ - 1 < y \le 1 $
Invece, ponendo $y := x^2/2 $ nella serie che ho scritto nel mio post precedente $ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{y^{n + 1}}{n + 1} = - ln(1 - y) = ln(frac{1}{1 - y}) $ si ottiene la seconda serie scritta da ciccio.95:
$ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^{2n + 2}}{2^{n + 1} (n + 1)} = frac{x^2}{2} + frac{x^4}{2 \cdot 4} + frac{x^6}{3 \cdot 8} + frac{x^8}{4 \cdot 16} + ... = - ln(1 - x^2/2) = ln(frac{1}{1 - x^2/2}) $
sempre con le opportune limitazioni per $x$ dedotte da quelle per $y $: $ - 1 \le y < 1 $
va bene, grazie mille.
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