Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue
Che differenza c'è tra i due tipi di funzioni? Non capisco perchè se una funzione è Lebesgue-integrabile, può non essere Riemann-integrabile mentre se è Riemann-integrabile, è sicuramente Lebesgue-integrabile.
La definizione di integrale di Riemann per via grafica, indica la somma dell'area sottesa dai rettangolini (larghi uguali) che compongono la funzione definendo la somma superiore e inferiore di una funzione. La definizione matematica non me la ricordo non so che fine abbia fatto il quaderno di Analisi 1.
La definizione grafica di integrale di Lebesgue è simile (i rettangolini si estendono per tutta la durata della funzione, con la stessa altezza).
La definizione che mi hanno dato invece è:
$f: \RR^n \rightarrow \RR$ è Lebesgue integrabile se $EE {f_k}_{k=1}^{\infty}$ costante a tratti tale che $f(x)=lim_(k->+\infty)f_k(x)$ per quasi ovunque $x\in \RR^n$ e
$\int_{\RR^n}f(x)dx:=lim_(k->+\infty)\int_{\RR^n}f_k(x)dx$
La definizione di integrale di Riemann per via grafica, indica la somma dell'area sottesa dai rettangolini (larghi uguali) che compongono la funzione definendo la somma superiore e inferiore di una funzione. La definizione matematica non me la ricordo non so che fine abbia fatto il quaderno di Analisi 1.
La definizione grafica di integrale di Lebesgue è simile (i rettangolini si estendono per tutta la durata della funzione, con la stessa altezza).
La definizione che mi hanno dato invece è:
$f: \RR^n \rightarrow \RR$ è Lebesgue integrabile se $EE {f_k}_{k=1}^{\infty}$ costante a tratti tale che $f(x)=lim_(k->+\infty)f_k(x)$ per quasi ovunque $x\in \RR^n$ e
$\int_{\RR^n}f(x)dx:=lim_(k->+\infty)\int_{\RR^n}f_k(x)dx$
Risposte
Guarda, le differenze tra i due tipi di integrale sono affrontate in molti documenti, ad esempio qui o anche su questo stesso sito.
Non sto a riaprire la discussione. Per convincerti che è falso che $ f text( Riemann integrabile ) \Rightarrow f text( Lebesgue integrabile)$ guarda la funzione di Dirichlet $chi_(QQ)$. Su un qualsiasi intervallo $[a,b] in RR$, $chi_(QQ)$ è q.o. uguale alla funzione nulla, quindi è integrabile secondo Lebesgue, ma ogni somma superiore secondo Riemann vale (b-a), mentre ogni somma inferiore vale 0, quindi non è integrabile secondo Riemann.
EDIT: scusa, volevo dire il contrario di quanto ho scritto, l'affermazione vera è
Per convincerti che è falso che $ f text( Lebesgue integrabile ) \Rightarrow f text( Riemann integrabile)$
Non sto a riaprire la discussione. Per convincerti che è falso che $ f text( Riemann integrabile ) \Rightarrow f text( Lebesgue integrabile)$ guarda la funzione di Dirichlet $chi_(QQ)$. Su un qualsiasi intervallo $[a,b] in RR$, $chi_(QQ)$ è q.o. uguale alla funzione nulla, quindi è integrabile secondo Lebesgue, ma ogni somma superiore secondo Riemann vale (b-a), mentre ogni somma inferiore vale 0, quindi non è integrabile secondo Riemann.
EDIT: scusa, volevo dire il contrario di quanto ho scritto, l'affermazione vera è
Per convincerti che è falso che $ f text( Lebesgue integrabile ) \Rightarrow f text( Riemann integrabile)$
"IlPolloDiGödel":
Per convincerti che è falso che $ f text( Riemann integrabile ) \Rightarrow f text( Lebesgue integrabile)$ guarda la funzione di Dirichlet $chi_(QQ)$.
Lapsus?
"Shika93":
se è Riemann-integrabile, è sicuramente Lebesgue-integrabile.
Questo già non è più vero se il dominio di integrazione è illimitato, vedi \(\frac{\sin x}{x}\).
Si Raptorista ha ragione, correggo il post. Grazie 
"Shika93":
se è Riemann-integrabile, è sicuramente Lebesgue-integrabile.
Questo già non è più vero se il dominio di integrazione è illimitato, vedi \(\frac{\sin x}{x}\).[/quote]
Questa cosa l'ho capita ma non perchè il dominio di integrazione è limitato, ma per una proposizione che dice se $f>=0$ allora $f \text{ Lebesgue integrabile}$ in $E sube \RR^n$ se e solo se $f \text{ Riemann integrabile}$
E l'abbiamo visto integrando $sinx/x$ e il suo modulo.
$\int_{0}^{\infty}sinx/x=\pi/2 < \infty$
$\int_{0}^{\infty}|sinx/x|= \infty$
quindi $f notin L^1(0, \infty)$ ma è Riemann integrabile.
E l'abbiamo visto per via grafica. Il grafico di $sinx/x$ ha parti positive e negative che hanno valori diversi, quindi la somma delle singole aree all'infinito non fa infinito, ma $\pi/2$ perchè si "compensano" a vicenda. Invece la somma delle singole aree del suo modulo all'infinito è infinita.
Una cosa simile con la funzione di Dirichlet che una spiegazione più semplice che mi farei è abbastanza simile a quella di $sinx/x$ per via grafica.
Magari se per caso riuscite a spiegarmi sta cosa con un esercizio non mi dispiacerebbe.
Mi è stato chiesto di determinare
$lim_(n->\infty) \int_{\text{[}0, +\infty\text{]}}^{} (1+((2x)/n))^n e^-(3x)dx$ e mi è stato suggerito di farlo notando che $(1+1/n)^n \rightarrow e$ applicando il teorema di convergenza monotona o dominata che se non ho capito male il teorema di convergenza dominata è un caso particolare della monotona.
Comunque la differenza tra i due integrali è solo teorica. In pratica non stai a vedere se stai usando la definizione di Riemann o quella di Lebesgue, parli solo di "integrale", come è giusto che sia. L'unica cosa a cui fare attenzione è la differenza tra l'assoluta integrabilità e l'integrabilità impropria, cioè la differenza tra
\[
\int_{\mathbb R} f(x)\, dx \qquad \text{con }\int_{\mathbb R} |f(x)|\, dx <\infty\]
e
\[
\lim_{R\to \infty} \int_{-R}^R f(x)\,dx \qquad \text{con }\int_{\mathbb R}|f(x)|\, dx = \infty.\]
La funzione \(\frac{\sin x}{x}\) rientra in quest'ultimo caso.
\[
\int_{\mathbb R} f(x)\, dx \qquad \text{con }\int_{\mathbb R} |f(x)|\, dx <\infty\]
e
\[
\lim_{R\to \infty} \int_{-R}^R f(x)\,dx \qquad \text{con }\int_{\mathbb R}|f(x)|\, dx = \infty.\]
La funzione \(\frac{\sin x}{x}\) rientra in quest'ultimo caso.
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