Differenza funzione complessa e funzione a due variabili
Aiutatemi a capire graficamente la differenza tra una funzione complessa e una funzione a due variabili reali.
Plottando alcune funzione noto che si tratta in entrambi i casi di grafici tridimensionali.
Attualmente sto studiando l'analisi complessa e la relativa teoria, e mi è sorto il dubbio di non aver ben compreso l'utilità della parte immaginaria di un numero complesso.
Perché studiare funzioni complesse se ho già funzioni a più variabili in ambito reale?
La risposta sarà sicuramente perché in ambito reale non riesco a risolvere \(\displaystyle x^2+1=0 \)
Ma qual'è la vera utilità dal punto di vista grafico?
Il numero complesso \(\displaystyle x+iy \) in cosa differisce da un numero reale di coordinate \(\displaystyle (x,y) \)?
E quindi \(\displaystyle f(x+iy) \) in cosa differisce da \(\displaystyle f(x,y) \)?
Quello che ho letto qui poi mi ha mandato ancora più in confusione (dice che le due cose sono equivalenti
):
Plottando alcune funzione noto che si tratta in entrambi i casi di grafici tridimensionali.
Attualmente sto studiando l'analisi complessa e la relativa teoria, e mi è sorto il dubbio di non aver ben compreso l'utilità della parte immaginaria di un numero complesso.
Perché studiare funzioni complesse se ho già funzioni a più variabili in ambito reale?
La risposta sarà sicuramente perché in ambito reale non riesco a risolvere \(\displaystyle x^2+1=0 \)
Ma qual'è la vera utilità dal punto di vista grafico?
Il numero complesso \(\displaystyle x+iy \) in cosa differisce da un numero reale di coordinate \(\displaystyle (x,y) \)?
E quindi \(\displaystyle f(x+iy) \) in cosa differisce da \(\displaystyle f(x,y) \)?
Quello che ho letto qui poi mi ha mandato ancora più in confusione (dice che le due cose sono equivalenti
):
Risposte
Conosci un modo per moltiplicare due vettori di \(\mathbb{R}^2\) ottenendo ancora un vettore di \(\mathbb{R}^2\)?
"Epimenide93":
Conosci un modo per moltiplicare due vettori di \(\mathbb{R}^2\) ottenendo ancora un vettore di \(\mathbb{R}^2\)?
Moltiplicando due numeri complessi... ma ancora non capisco dal punto di vista grafico cosa cambia.
mi sfugge una cosa...
abbiamo una determinata funzione $f$ a cui diamo in pasto un numero reale $x+iy$, che può essere rappresentato su un grafico con assi cartesiani, ma poi il valore che ci restituisce la nostra funzione a che insieme appartiene? E' un reale e basta o un numero complesso?
abbiamo una determinata funzione $f$ a cui diamo in pasto un numero reale $x+iy$, che può essere rappresentato su un grafico con assi cartesiani, ma poi il valore che ci restituisce la nostra funzione a che insieme appartiene? E' un reale e basta o un numero complesso?
"gio73":
mi sfugge una cosa...
abbiamo una determinata funzione $f$ a cui diamo in pasto un numero reale $x+iy$, che può essere rappresentato su un grafico con assi cartesiani, ma poi il valore che ci restituisce la nostra funzione a che insieme appartiene? E' un reale e basta o un numero complesso?
Complesso... ma non è questo il punto.
Non capisco come la parte immaginaria viene elaborata dalla funzione. Mi spiego meglio so che in \(\displaystyle R^2, f(x,y) \) mi da un grafico tridimensionale con assi \(\displaystyle x,y,z \). In campo complesso invece cosa succede?
"code47":
Moltiplicando due numeri complessi... ma ancora non capisco dal punto di vista grafico cosa cambia.
Eh no, direi che è proprio qui l'inghippo. Nell'analisi complessa si usa $\mathbb{C}$ con la sua struttura di campo, mentre $\mathbb{R}^2$ dell'analisi reale non ce l'ha. La differenza si vede nelle stesse definizioni, pensa alla differenziabilità e alle funzioni olomorfe, non sono la stessa classe di funzioni.
Mi sorge spontanea una domanda: esiste una branca dell'analisi applicata a campi di dimensione più elevata (e.g. campo dei quaternioni...)?
"Frink":
[quote="code47"]
Moltiplicando due numeri complessi... ma ancora non capisco dal punto di vista grafico cosa cambia.
Eh no, direi che è proprio qui l'inghippo. Nell'analisi complessa si usa $\mathbb{C}$ con la sua struttura di campo, mentre $\mathbb{R}^2$ dell'analisi reale non ce l'ha. La differenza si vede nelle stesse definizioni, pensa alla differenziabilità e alle funzioni olomorfe, non sono la stessa classe di funzioni.
Mi sorge spontanea una domanda: esiste una branca dell'analisi applicata a campi di dimensione più elevata (e.g. campo dei quaternioni...)?[/quote]
Si ora che l'ho "googlata"
Capisco che le strutture di campo e le definizioni sono diverse.
Ma se Rez corrisponde alla x reale e Imz corrisponde alla y reale ho fatto un buco nell'acqua?
Forse con questo esempio spiego meglio il mio dubbio:
\(\displaystyle f(z)=Rez+Imz \) in cosa differisce da \(\displaystyle f(x,y)=x+y \), cioè la parte immaginaria \(\displaystyle iy \) graficamente come influisce rispetto alla sola \(\displaystyle y \)? Perché se fosse \(\displaystyle Imz=y \) le due scritture precedenti sarebbero uguali o sbaglio?
"Frink":
Mi sorge spontanea una domanda: esiste una branca dell'analisi applicata a campi di dimensione più elevata (e.g. campo dei quaternioni...)?
Occhio, i quaternioni non formano un campo, ma un corpo non commutativo (skew field). Comunque sì, sui quaternioni si può fare dell'analisi, ma le cose diventano infernali, perché non esiste una cosa bella come l'olomorfia per funzioni non banali, e allora bisogna scegliere quali condizioni di regolarità tenere e a quali rinunciare. La teoria più sviluppata è quella delle funzioni Fueter-regolari, ma di recente sono nati gruppi di ricerca (italiani, tra l'altro) che lavorano allo studio di funzioni con diverse nozioni di regolarità.
Di altre algebre (associative) di divisione a dimensione reale finita non ce ne sono, quindi direi che oltre non si va.
@code47 dipende tutto dalla prospettiva con cui guardi le cose. Se li consideriamo come spazi vettoriali \(\mathbb{C}\) e \(\mathbb{R}^2\) sono indistinguibili, ma sui complessi c'è un prodotto. La funzione \(z \mapsto \mathfrak{Re}z + \mathfrak{Im}z\) è (guardata nella categoria degli spazi vettoriali reali) identica alla funzione \((x,y) \mapsto x + y\), il fatto è che nei complessi puoi anche definire la funzione \(z \mapsto (\mathfrak{Re}z + \mathfrak{Im}z) z^3 \) che da un punto di vista vettoriale non ha alcun senso. Il prodotto complesso genera fenomeni molto diversi da quelli reali, il multiplo reale di un vettore di \(\mathbb{R}^2\) conserva la stessa direzione del vettore di partenza, un multiplo complesso di un numero complesso può essere, da un punto di vista reale, un vettore completamente diverso. Informalmente, si dice che una retta complessa è un piano reale. Ora sono un po' di fretta e non ho il tempo per spiegarmi meglio, comunque prova a pensare a cosa significa geometricamente il prodotto tra due complessi.
Inoltre, come ricorda gio73, anche da un punto di vista meramente vettoriale, una funzione \(\mathbb{C} \to \mathbb{C}\) è una funzione \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), non \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\).
Inoltre, come ricorda gio73, anche da un punto di vista meramente vettoriale, una funzione \(\mathbb{C} \to \mathbb{C}\) è una funzione \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), non \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\).
"Epimenide93":
@code47 dipende tutto dalla prospettiva con cui guardi le cose. Se li consideriamo come spazi vettoriali \(\mathbb{C}\) e \(\mathbb{R}^2\) sono indistinguibili, ma sui complessi c'è un prodotto. La funzione \(z \mapsto \mathfrak{Re}z + \mathfrak{Im}z\) è (guardata nella categoria degli spazi vettoriali reali) identica alla funzione \((x,y) \mapsto x + y\), il fatto è che nei complessi puoi anche definire la funzione \(z \mapsto (\mathfrak{Re}z + \mathfrak{Im}z) z^3 \) che da un punto di vista vettoriale non ha alcun senso. Il prodotto complesso genera fenomeni molto diversi da quelli reali, il multiplo reale di un vettore di \(\mathbb{R}^2\) conserva la stessa direzione del vettore di partenza, un multiplo complesso di un numero complesso può essere, da un punto di vista reale, un vettore completamente diverso. Informalmente, si dice che una retta complessa è un piano reale. Ora sono un po' di fretta e non ho il tempo per spiegarmi meglio, comunque prova a pensare a cosa significa geometricamente il prodotto tra due complessi.
Inoltre, come ricorda gio73, anche da un punto di vista meramente vettoriale, una funzione \(\mathbb{C} \to \mathbb{C}\) è una funzione \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), non \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\).
Capisco.. inizio ad avere le idee un po più chiare. Il fatto è che in ambito reale riuscivo subito ad inquadrare una funzione e il suo comportamento ad occhio, in ambito complesso non riesco e la cosa mi disorienta. Vado a rileggere qualcosa sul prodotto dei complessi
Per la visualizzazione di funzioni complesse di variabile complessa
https://www.pacifict.com/ComplexFunctions.html
e poi in fondo alla pagina vari esempi.
https://www.pacifict.com/ComplexFunctions.html
e poi in fondo alla pagina vari esempi.
"Camillo":
Per la visualizzazione di funzioni complesse di variabile complessa
https://www.pacifict.com/ComplexFunctions.html
e poi in fondo alla pagina vari esempi.
Grazie
C'è un intero libro dedicato alla visualizzazione di funzioni complesse. Si chiama "Visual complex analysis", di Tristan Needham.
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