Differenza fra successioni di funzioni e serie di funzioni

[maximus241]

salve, una domanda: ma perché distinguere i casi se, alla fine, sono, seppur grosso modo, le ''stesse'' cose?
cioè, una successione di funzione si affronta come si affronta una serie di funzioni, e viceversa, perché differenziare i due concetti?

[Zero87]

"maximus24":salve, una domanda: ma perché distinguere i casi se, alla fine, sono, seppur grosso modo, le ''stesse'' cose?

Beh, non proprio le stesse cose, una successione di funzioni è un insieme ordinato - generalmente secondo regole definite (la legge espressa dalla successione stessa) - di termini, i quali sono funzioni dipendenti anche da un parametro intero. Le serie, invece, sono somme (finite o infinite) dei termini di una successione.
Quindi non sono la stessa cosa, la prima è un insieme di elementi, la seconda è la somma di tali elementi.

Certo, la mia definizione non è un bijou, ma rende l'idea.

[dissonance]

C'è un remark a questo proposito su "Principi di analisi matematica". E' vero che ogni successione $a_n$ può essere studiata come serie, osservando che
\[
a_N=\sum_{n=0}^N a_n - a_{n-1}, \]
con la convenzione che $a_{-1}=0$. Tra l'altro questo è un trucco che talvolta si usa in matematica. Ma conviene tenere la barriera psicologica tra i due concetti e studiarli separatamente.

[Zero87]

"dissonance":C'è un remark a questo proposito su "Principi di analisi matematica".

In realtà la mia definizione è una composizione di rimembranze che non ricordo se fossero del "Calculus" (di Apostol) o dei "Principi di analisi matematica" di Rudin. Magari tu lo sai meglio di me.

Comunque anche le serie, dal canto loro, possono essere studiate come successioni ponendo
$S_n (x)=\sum_(k=1)^n f_k(x)$,
e ricordo di un testo di analisi che tramite questa definizione dimostra un sacco di proprietà.

[maximus241]

dunque, si può distinguerle a livello teorico, ma a livello pratico le si può trattare quasi allo stesso modo, no?

[dissonance]

@maximus24: No, infatti è esattamente il contrario.

[poll89]

ciao a tutti, dico la mia visto che sto studiando esattamente questo argomento da quanto ho visto io, successioni e serie si mescolano tanto ma non sono affatto la stessa cosa. Semmai direi che le successioni sono il preludio alle serie, addirittura la mia dispensa dice che "una serie di funzioni $sum_(n=0)^(+infty) f_n(x)$ gode di una proprietà P se la sua successione delle somme parziali ${S_k}$, con $S_k = sum_(j=0)^k f_j(x)$, gode di tale proprietà". Da qui poi partono vari teoremi.